對數平均
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對數平均是一個二個非負數字的數學函數,等於兩者的差除以其對數的差。其符號為:
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其中都是正整數。
不等式
二個數字的對數平均小於其算術平均,大於幾何平均[1],若二個數字相等,對數平均會等於算數平均及幾何平均。
平均的推導
根據均值定理
若將改為,對數平均可以由 來求得
求解。
面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數,長度為1區間的的積分會在和之間。積分算子的齊次性轉移到平均算子,因此.
推廣
對數平均可推廣到變數,考慮對數n階導數的均差中值定理。 可以得到: 其中為對數的均差。
若,會變成
- .
積分的表示法也可以推廣到多變數,但結果不同。 假設單純形 其中及適當的量度可以使單純形得到1的體積,可得
利用指數函數的均差可以簡化如下
- .
例如
- .
和其他平均的關係
- (算術平均)
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參考資料
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