哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程

在廣義相對論中，哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程（英語：Hamilton–Jacobi–Einstein equation，簡稱HJEE）是一道哈密頓形式、描述超空間中的幾何力學的方程。創於「幾何力學年代」，這方程由艾雪·佩雷斯在60年代前後和其他人鑄造。^[1]目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的半古典近似，就像量子力學與古典力學一樣對應關係。

這方程包含了全部10道愛因斯坦場方程式（EFEs）^[2]，亦是古典力學中哈密頓-雅可比方程式（HJE）的修正，並可以從ADM形式中的愛因斯坦-希爾伯特作用量，以最小作用量原理推導。

背景及動機

古典與量子物理的對應關係

古典分析力學中的一個系統的動力學是由作用量S所概括。而各量子理論，即非相對論量子力學、相論對量子力學及量子場論，各有不同的詮釋及數學形式，但一個系統的行為都是完全由一個複機率幅 Ψ（正式來說是量子態的ket |Ψ⟩－希爾伯特空間中的元素)。Eikonal的半古典近似給出

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}$

當中Ψ的相位可被詮釋為作用量，而模值√ρ = √Ψ*Ψ = |Ψ|則可被根據哥本哈根詮釋為機率密度函數。約化普朗克常數ħ是「作用量的量子」。代入一般形式的薛丁格方程式（SE），則有

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

取ħ → 0極限則得到古典的HJE：

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,,}$

這是對應原理其中一個結果。

參考

1. A. Peres. On Cauchy's problem in general relativity - II 26 (1). Springer. 1962: 53–62. doi:10.1007/BF02754342. |journal=被忽略 (幫助)
2. U.H. Gerlach. Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics. Physical Review. 1968, 177 (5): 1929–1941. Bibcode:1969PhRv..177.1929G. doi:10.1103/PhysRev.177.1929.