單射

在數學裡，單射函數（或稱內射函數、嵌射函數^[1]、一對一函數，英文稱injection、injective function 或 one-to-one function）為一函數，其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一對應域內的y，存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。

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  單射但非滿射的函數（不是對射函數）
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  單射且滿射的函數（是對射函數）
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  非單射但滿射的函數（不是對射函數）
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  非單射也非滿射的函數（也不是對射函數）

由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為Y^X，該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時，從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為n^m。

定義

令f 為一函數，且其定義域為一集合X，若且唯若對所有於X 內的元素a 及b，當f(a) = f(b)時，a = b，則該函數為單射函數；等價地說，當a ≠ b時，f(a) ≠ f(b)。

以邏輯符號表示如下：

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b}$

依換質換位律，該敘述邏輯等價於

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}$

例子與反例

• 對任一集合X，X上的恆等函數為單射的。
• 函數f : R → R，其定義為f(x) = 2x + 1，是單射的。
• 函數g : R → R，其定義為g(x) = x²，不是單射的，因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負實數[0,+∞)內，則g是單射的。
• 指數函數${\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$是單射的。
• 自然對數函數${\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}$是單射的。
• 函數${\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}-x}$，不是單射的，因為 g(0) = g(1)。

形象化地說，當定義域和對應域都是實數集 R時，單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

單射函數為可逆函數

具有左反函數的函數，必為單射。此處的條件（具有左反函數），比具有反函數弱：給定一函數f : X → Y，若存在一函數g : Y → X，使得對X內的每個元素x，

g(f(x)) = x，

則稱g為f的左反函數，而上式也就推出f為單射函數。

相反地，每個具非空定義域的單射函數f 都會有個左反函數g^[2]。須注意的是，g 不一定會是f 的反函數，因為相反順序的函數複合f ∘ g 不一定也會是Y 上的恆等函數。

事實上，要將一單射函數f : X → Y變成對射函數，只需要將其對應域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其對所有X內的x，g(x) = f(x)；如此g便為滿射的了。確實，f可以分解成incl_J,Yog，其中incl_J,Y是由J到Y的內含映射。

其他性質

• 若f和g皆為單射的，則f o g亦為單射的。

單射複合

• 若g o f為單射的，則f為單射的（但g不必然要是）。
• f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g, h : W → X會使得f o g = f o h時，則g = h。
• 若f : X → Y為單射的且A為X的子集，則f ⁻¹(f(A)) = A。
• 若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集，則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
• 任一函數 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構， f 可以設想為從 h(W) 到 Y 的內含映射。
• 若 f : X → Y 是單射，則在基數的意義下 Y 的元質數量不少於 X。
• 若 X 與 Y 皆為有限集，則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。
• 內含映射總是單射。

範疇論的觀點

以範疇論的語言來說，單射函數恰好是集合範疇內的單態射。

另見

• 對射
• 單射模
• 單態射
• 滿射

參考資料

1. injection - 嵌射；單射 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網
2. Injection iff Left Inverse [單射若且唯若有左逆]. proofwiki.org. [2021-09-01]. （原始內容存檔於2022-03-10） （英語）.

參考文獻

• Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.

外部連結

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）