位置的高階導數

物理學上，位置的高階導數，是位移對時間的四階以上對時間的導數；一階、二階、三階、四階導數分別稱為速度、加速度、加加速度、加加加速度……。在英語中，位移對時間的四階，五階，六階導數有時候有點滑稽地被稱為 "Snap," "Crackle" and "Pop"（英語：Snap, Crackle, and Pop）^[1][2]。

定義

四階導數被如下任意一個等價的公式定義：

${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d{\vec {j}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}}$

五階導數被如下任意一個等價的公式定義：

${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$

更高階的導數亦可依此類推。其中：

${\displaystyle {\vec {c}}}$ 是加加加加速度,

${\displaystyle {\vec {s}}}$ 是加加加速度,

${\displaystyle {\vec {j}}}$ 是加加速度,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ 是加速度,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ 是速度,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ 是位移,

${\displaystyle {\mathit {t}}}$ 是時間。

勻加加加速運動公式

下列公式被用於加加加速度恆定的運動：

• ${\displaystyle j=j.+st}$
• ${\displaystyle a=a.+j.t+{\frac {1}{2}}st^{2}}$
• ${\displaystyle v=u+a.t+{\frac {1}{2}}j.t^{2}+{\frac {1}{6}}st^{3}}$
• ${\displaystyle S=ut+{\frac {1}{2}}a.t^{2}+{\frac {1}{6}}j.t^{3}+{\frac {1}{24}}st^{4}}$

其中：

${\displaystyle {\vec {s}}}$ 是恆定的加加加速度,

${\displaystyle {\vec {j}}.}$ 是初加加速度，

${\displaystyle {\vec {j}}}$ 是末加加速度，

${\displaystyle {\vec {a}}.}$ 是初加速度，

${\displaystyle {\vec {a}}}$ 是末加速度，

${\displaystyle {\vec {v}}}$ 是初速度，

${\displaystyle {\vec {u}}}$ 是末速度，

${\displaystyle {\vec {S}}}$ 是距離或位移，

${\displaystyle {\vec {r}}}$ 是位置，

${\displaystyle {\mathit {t}}}$ 是時間。

記號

目前沒有通用的記號來表示這些高階導數。國際單位制中，加加加速度的單位是m/s⁴, m · s⁻⁴。符號 ${\displaystyle {\vec {s}}}$ (用於 ^[1]) 不可與可記作同個記號的位移向量混淆。

有關連結

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.
• What is the term used for the third derivative of position?

參考資料

1. Visser, Matt. Jerk, Snap, and the Cosmological Equation of State. Classical and Quantum Gravity. 2004-07-24, 21 (11): 2603–2616. Bibcode:2004CQGra..21.2603V. arXiv:gr-qc/0309109 . doi:10.1088/0264-9381/21/11/006.
2. Gragert, Stephanie. What is the term used for the third derivative of position?. Usenet Physics and Relativity FAQ. Math Dept., University of California, Riverside. November 1998 [2008-03-12]. （原始內容存檔於2016-11-30）.