X²+1素数
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x²+1素数问题是一个未解决的数学问题,其陈述如下:是否存在无穷个正整数x,使得x²+1为素数?
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这个问题得到许多数论学者的关注,有学者认为这个问题比孪生素数猜想更加困难,因为在正整数中,x²+1的数比p+2稀少,故x²+1为素数的概率更小。[1]
10000以内的x²+1素数为( A002496):2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。
历史
在1912年的国际数学家大会上,爱德蒙·兰道就素数理论的发展和黎曼ζ函数作演说,当中他提及四个“以目前的科学状况无法攻克”的关于素数的问题之中,第四个问题便是:“函数u²+1在u取整数值时是否给出了无穷多个素数?”[2]
推论
一般地说,设f(x)=ax^2+bx+c为整系数二次函数可以证明,若f(x)能取无穷多次的素数值,那么a, b, c须符合以下条件:
一个广义化的猜想便是,若a为正数且a, b, c符合上述3个条件,那么f(x)便能取无穷多次的素数值(见布尼亚科夫斯基猜想)。[3]
进展
根据弗里德兰德-伊万涅茨定理,存在无穷多个形如的素数。
在1978年,亨里克·伊万尼克证明了存在无穷多个x,使得至多是两个素数的积。
注释
参考文献
参见
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