X²+1質數

x²+1質數問題是一個未解決的數學問題，其陳述如下：是否存在無窮個正整數x，使得x²+1為質數？

這個問題得到許多數論學者的關注，有學者認為這個問題比孿生質數猜想更加困難，因為在正整數中，x²+1的數比p+2稀少，故x²+1為質數的機率更小。^[1]

10000以內的x²+1質數為（ A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

歷史

在1912年的國際數學家大會上，愛德蒙·蘭道就質數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提及四個「以目前的科學狀況無法攻克」的關於質數的問題之中，第四個問題便是：「函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？」^[2]

推論

一般地說，設f(x)=ax^2+bx+c為整係數二次函數可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：

1. a, b, c的最大公因數為1
2. a+b和c不能都是偶數
3. b²-4ac不是完全平方數

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亞科夫斯基猜想）。^[3]

進展

1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測^[2]：

${\displaystyle \#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}}$

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理（英語：Friedlander–Iwaniec theorem），存在無窮多個形如${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$的質數。

在1978年，亨里克·伊萬尼克證明了存在無窮多個x，使得${\displaystyle x^{2}+1}$至多是兩個質數的積。