QR分解

QR分解法是一種將矩陣分解的方式。這種方式，把矩陣分解成一個正交矩陣與一個上三角矩陣的積。QR分解經常用來解線性最小平方法問題。QR分解也是特定特徵值算法即QR算法的基礎。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

類別及定義

方陣

任何方塊矩陣A都可以分解為

${\displaystyle A=QR}$

其中Q是正交矩陣（意味著Q^TQ = I）而R是上三角矩陣。如果A是非奇異的，且限定R的對角線元素為正，則這個因數分解是唯一的。

更一般的說，我們可以因數分解複數${\displaystyle m}$×${\displaystyle n}$矩陣（有著m ≥ n）為${\displaystyle m}$×${\displaystyle n}$么正矩陣（在Q ^∗Q = I 的意義上，不需要是方陣）和${\displaystyle n}$×${\displaystyle n}$上三角矩陣的乘積。對m<n的情況，在Q是${\displaystyle m}$×${\displaystyle m}$方陣，而R則是${\displaystyle m}$×${\displaystyle n}$矩陣。

長方形矩陣

更一般地，我們可以將m×n的A矩陣，其中m ≥ n，分解成m×m么正矩陣Q和m×n三角矩陣R的乘積。由於m×n上三角矩陣的底部(m−n)行完全由零組成，因此對R或R和Q進行分解通常很有用：

${\displaystyle A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},}$

其中R₁是n×n上三角矩陣，0是(m − n)×n零矩陣，Q₁是m×n，Q₂是m×(m − n)，且Q₁和Q₂都是有正交列。

已隱藏部分未翻譯內容，歡迎參與翻譯。

Golub & Van Loan (1996，§5.2) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGolubVan_Loan1996 (幫助) call Q₁R₁ the thin QR factorization of A; Trefethen and Bau call this the reduced QR factorization.^[1] If A is of full rank n and we require that the diagonal elements of R₁ are positive then R₁ and Q₁ are unique, but in general Q₂ is not. R₁ is then equal to the upper triangular factor of the Cholesky decomposition of A* A (= A^TA if A is real).

QL、RQ 和 LQ 分解

類似的，我們可以定義A的QL，RQ和LQ分解。其中L是下三角矩陣。

QR分解的求法

QR分解的實際計算有很多方法，例如Givens旋轉、Householder轉換，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一種方法都有其優點和不足。

參見：格拉姆-施密特正交化

使用Householder轉換

Householder轉換

Householder轉換將一個向量關於某個平面或者超平面進行反射。我們可以利用這個操作對${\displaystyle m\times n(m\geqq n)}$的矩陣${\displaystyle A}$進行QR分解。

矩陣${\displaystyle Q}$可以被用於對一個向量以一種特定的方式進行反射轉換，使得它除了一個維度以外的其他所有分量都化為0。

令${\displaystyle \mathbf {x} }$為矩陣${\displaystyle A}$的任一m維實列向量，且有${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=|\alpha |}$（其中${\displaystyle \alpha }$為純量）。若該算法是通過浮點數實現的，則${\displaystyle \alpha }$應當取和${\displaystyle \mathbf {x} }$的第${\displaystyle k}$維相反的符號（其中${\displaystyle x_{k}}$是要保留不為0的項），這樣做可以避免精度缺失。對於複數的情況，令

${\displaystyle \alpha =-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg x_{k}}\|\mathbf {x} \|}$

(Stoer & Bulirsch 2002，第225頁) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFStoerBulirsch2002 (幫助)，並且在接下來矩陣${\displaystyle Q}$的構造中要將矩陣轉置替換為共軛轉置。

接下來，設${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$為單位向量${\displaystyle (1,0,\cdots ,0)^{T}}$，||·||為歐幾里德範數，${\displaystyle I}$為${\displaystyle m\times m}$單位矩陣，令

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {v} ={\mathbf {u} \over \|\mathbf {u} \|}}$ ，

${\displaystyle Q=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{T}}$ 。

或者，若${\displaystyle A}$為複矩陣，則

${\displaystyle Q=I-(1+w)\mathbf {v} \mathbf {v} ^{H}}$，其中${\displaystyle w=\mathbf {x} ^{H}\mathbf {v} \mathbf {/} \mathbf {v} ^{H}\mathbf {x} }$

式中${\displaystyle \mathbf {x} ^{H}}$是${\displaystyle x}$的共軛轉置（亦稱埃爾米特共軛或埃爾米特轉置）。

則${\displaystyle Q}$為一個${\displaystyle m\times m}$的Householder矩陣，它滿足

${\displaystyle Q\mathbf {x} =(\alpha ,0,\cdots ,0)^{T}\ }$

利用Householder矩陣，可以將一個${\displaystyle m\times n}$的矩陣${\displaystyle A'}$轉換為上三角矩陣。 首先，我們將A左乘通過選取矩陣的第一列得到列向量${\displaystyle x}$的Householder矩陣${\displaystyle Q_{1}}$。這樣，我們得到的矩陣${\displaystyle Q_{1}A}$的第一列將全部為0（第一行除外）：

${\displaystyle Q_{1}A={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\star &\dots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'&\\0&&&\end{bmatrix}}}$

這個過程對於矩陣${\displaystyle A'}$（即${\displaystyle Q_{1}A}$排除第一行和第一列之後剩下的方陣）還可以繼續做下去，從而得到另一個Householder矩陣${\displaystyle Q_{2}}$。注意到${\displaystyle Q_{2}}$其實比${\displaystyle Q_{1}}$要小，因為它是在${\displaystyle Q_{1}A}$而非${\displaystyle A}$的基礎上得到的。因此，我們需要在${\displaystyle Q_{2}}$的左上角補上1，或者，更一般地來說：

${\displaystyle Q_{k}={\begin{bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end{bmatrix}}}$

將這個迭代過程進行${\displaystyle t}$次之後（${\displaystyle t=\min(m-1,n)}$）,將有

${\displaystyle R=Q_{t}\cdots Q_{2}Q_{1}A}$

其中R為一個上三角矩陣。因此，令

${\displaystyle Q=Q_{1}^{T}Q_{2}^{T}\cdots Q_{t}^{T},}$

則${\displaystyle A=QR}$為矩陣${\displaystyle A}$的一個QR分解。

相比與Gram-Schmidt正交化，使用Householder轉換具有更好的數值穩定性。

例子

現在要用Householder轉換求解矩陣${\displaystyle A}$的${\displaystyle QR}$ 分解。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&4&-2\\2&1&1\\\end{bmatrix}}}$

因為${\displaystyle \alpha _{1}=[0,\ 0,\ 2]^{T}}$, 令${\displaystyle a_{1}=||\alpha _{1}||_{2}=2}$，則

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\alpha _{1}-a_{1}e_{1}}{||\alpha _{1}-a_{1}e_{1}||_{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,\ 0,\ 1]^{T}}$

則有

${\displaystyle H_{1}=I-2\omega _{1}\omega _{1}^{H}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$

從而，

${\displaystyle H_{1}A={\begin{bmatrix}2&1&1\\0&4&-2\\0&3&1\\\end{bmatrix}}}$

記${\displaystyle \beta =[4,\ 3]^{T}}$, 則${\displaystyle b_{1}=||\beta _{2}||_{2}=5}$。令

${\displaystyle \omega _{2}={\frac {\beta _{2}-b_{1}e_{1}}{||\beta _{2}-b_{1}e_{1}||_{2}}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}[-1,\ 3]^{T}}$

${\displaystyle {\hat {H_{2}}}=I-2\omega _{2}\omega ^{H}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}4&3\\3&-4\\\end{bmatrix}}}$

記，

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&0^{T}\\0&{\hat {H_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\0&{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\\end{bmatrix}}}$

則，

${\displaystyle R=H_{2}(H_{1}A)={\begin{bmatrix}2&1&1\\0&5&-1\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}$

那麼

${\displaystyle Q=H_{1}H_{2}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}0&3&-4\\0&4&3\\5&0&0\\\end{bmatrix}}}$

使用吉文斯旋轉

吉文斯旋轉

吉文斯旋轉表示為如下形式的矩陣

${\displaystyle G(i,j,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

這裡的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出現在第 i 行和第 j 行與第 i 列和第 j 列的交叉點上。就是說，吉文斯旋轉矩陣的所有非零元素定義如下：:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{k\,k}&{}=1\qquad {\text{for}}\ k\neq i,\,j\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{i\,j}&{}=s\\g_{j\,i}&{}=-s\end{aligned}}}$

乘積 G(i, j, θ)x 表示向量 x 在 (i,j)平面中的逆時針旋轉 θ 弧度。

吉文斯旋轉作用於QR分解

對於一個向量

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}\\\end{array}}}$

如果，${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ , ${\displaystyle c={\frac {a}{r}}}$ , ${\displaystyle s=-{\frac {b}{r}}}$ , 那麼，就存在旋轉矩陣G，使${\displaystyle A}$ 底部轉成0。

${\displaystyle A_{2\_Sub}={\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\\0\\\end{bmatrix}}}$

每一次的旋轉，吉文斯旋轉都可以將一個元素化成0，直到將原始矩陣轉成一個上三角矩陣，則完成分解。

${\displaystyle A=QR}$

${\displaystyle Q=G_{1}^{T}G_{2}^{T}\cdots G_{k}^{T}}$

例子

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}6&5&0\\5&1&4\\0&4&3\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {6^{2}+5^{2}}}\approx 7.8102}$

${\displaystyle c=6/r\approx 0.7682}$

${\displaystyle s=-5/r\approx -0.6402}$

${\displaystyle A_{2}=G_{1}A_{1}={\begin{bmatrix}c&-s&0\\s&c&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}6&5&0\\5&1&4\\0&4&3\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&-2.4327&3.0729\\0&4&3\\\end{bmatrix}}}$

對於:${\displaystyle A_{2}}$子矩陣 :${\displaystyle A_{2\_Sub}}$

${\displaystyle A_{2\_Sub}={\begin{bmatrix}-2.4327&3.0729\\4&3\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {(-2.4327)^{2}+4^{2}}}\approx 4.6817}$

${\displaystyle c=-2.4327/r\approx -0.5196}$

${\displaystyle s=-5/r\approx -0.8544}$

${\displaystyle G_{2}A_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c&-s\\0&s&c\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&-2.4327&3.0729\\0&4&3\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&4.6817&0.9664\\0&0&-4.1843\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R=G_{2}A_{2}=G_{2}G_{1}A_{1}}$

${\displaystyle Q=G_{1}^{T}G_{2}^{T}={\begin{bmatrix}0.7682&0.3327&0.5470\\0.6402&-0.3992&-0.6564\\0&0.8544&-0.5196\\\end{bmatrix}}}$

使用格拉姆-施密特正交化方法

基本思想

圖1 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$在${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{2}}$上投影，構造${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{3}}$上的正交基${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

格拉姆-施密特正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。

設${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V^{n}}}}$。${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$是${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{n}}$上的${\displaystyle k}$維子空間，其標準正交基為${\displaystyle \{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}}$，且${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$不在${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$上。由投影原理知，${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$與其在${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$上的投影${\displaystyle \mathrm {proj} _{\boldsymbol {V^{k}}}{\boldsymbol {v}}}$之差

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\eta }}_{i}}\,{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i}}$

是正交於子空間${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$的，亦即${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$正交於${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$的正交基${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{i}}$。因此只要將${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$單位化，即

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{k+1}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\|{\boldsymbol {\beta }}\|}}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\sqrt {\langle {\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }}\rangle }}}}$

那麼${\displaystyle \{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k},{\boldsymbol {\eta }}_{k+1}\}}$就是${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{k}}$在${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$上擴展的子空間${\displaystyle \mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{1},...,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}}$的標準正交基。

根據上述分析，對於向量組${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}}$張成的空間${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{m}}$ (${\displaystyle m<n}$)，只要從其中一個向量（不妨設為${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}}$）所張成的一維子空間${\displaystyle \mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}}$開始（注意到${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}}$就是${\displaystyle \mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}}$的正交基），重複上述擴展構造正交基的過程，就能夠得到${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{n}}$ 的一組正交基。這就是格拉姆-施密特正交化。

格拉姆-施密特正交化算法

首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設為${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}}$。Gram-Schmidt正交化的過程如下：

	${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1},}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{1}={{\boldsymbol {\beta }}_{1} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{1}\|}}$
	${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\langle {\boldsymbol {v}}_{2},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1},}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{2}={{\boldsymbol {\beta }}_{2} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{2}\|}}$
	${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{3}={\boldsymbol {v}}_{3}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{2},}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{3}={{\boldsymbol {\beta }}_{3} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{3}\|}}$
	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \vdots }$
	${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{n}={\boldsymbol {v}}_{n}-\sum _{i=1}^{n-1}\langle {\boldsymbol {v}}_{n},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i},}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{n}={{\boldsymbol {\beta }}_{n} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{n}\|}}$

這樣就得到${\displaystyle \mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}}$上的一組正交基${\displaystyle \{{\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{n}\}}$，以及相應的標準正交基${\displaystyle \{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{n}\}}$。

例子

現在要用格拉姆-施密特轉換求解矩陣${\displaystyle A}$的${\displaystyle QR}$ 分解。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&0&5\\0&3&6\\\end{bmatrix}}}$

令， ${\displaystyle a=[1,0,0]}$

${\displaystyle q_{1}={\frac {a}{||a||}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {q_{2}}}=b-(b*q_{1})q_{1}={\begin{bmatrix}2\\0\\3\\\end{bmatrix}}-2{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {\hat {q_{2}}}{||{\hat {q_{2}}}||}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {q_{3}}}=c-(c*q_{1})q_{1}-(c*q_{2})q_{2}={\begin{bmatrix}4\\5\\6\\\end{bmatrix}}-4{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}-6{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\5\\0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle q_{3}={\frac {\hat {q_{3}}}{||{\hat {q_{3}}}||}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}}$

那麼可知，

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

由${\displaystyle A=QR}$，可知，

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}}$

Matlab

MATLAB以qr函數來執行QR分解法，其語法為

${\displaystyle [Q,R]=qr(A)}$

其中Q代表正規正交矩陣，

而R代表上三角形矩陣。

此外，原矩陣A不必為正方矩陣； 如果矩陣A大小為${\displaystyle m\times n}$，則矩陣Q大小為${\displaystyle m\times m}$，矩陣R大小為${\displaystyle m\times n}$。

用途

解線性方程組

對於直接求解線性方程組的逆，用QR分解的方法求解會更具有數據的穩定性。 對於求解一個線性系統${\displaystyle Ax=b}$, 這裡${\displaystyle A}$的維度是${\displaystyle m\times n}$。

如果${\displaystyle m\leq n}$, 那麼${\displaystyle A^{T}=QR}$,這裡${\displaystyle Q^{T}=Q^{-1}}$)。

${\displaystyle R}$ 的形式是 ${\displaystyle R={\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}}$，${\displaystyle R_{1}}$是${\displaystyle R}$上不為0的部分。 那麼對於

${\displaystyle x=Q{\begin{bmatrix}\left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}b\\0\end{bmatrix}}}$

如果${\displaystyle m>n}$, 那麼${\displaystyle A=QR}$,這裡${\displaystyle Q^{T}=Q^{-1}}$)。本質是最小化${\displaystyle ||A{\hat {x}}-b||}$

${\displaystyle {\hat {x}}=R_{1}^{-1}\left(Q_{1}^{\textsf {T}}b\right)}$

參考文獻

1. Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III. Numerical linear algebra. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1997. ISBN 978-0-898713-61-9.

外部連結

• MIT. QR Decomposition. Youtube. [2020-07-01]. （原始內容存檔於2020-07-27）.
• Poujh. QR Decomposition Givens旋转. Youtube. [2020-07-01]. （原始內容存檔於2020-09-01）.