歐幾里得距離

在數學中，歐幾里得空間中兩點之間的歐幾里得距離（英語：Euclidean distance）是指連接這兩點的線段的長度。通過使用勾股定理，可以根據點的笛卡爾坐標計算這個距離，因此有時也被稱為勾股距離。這些名稱來源於古希臘數學家歐幾里得和畢達哥拉斯，儘管歐幾里得並沒有用數字表示距離，而且直到18世紀才將勾股定理與距離計算聯繫起來。

利用勾股定理計算二維歐幾里得距離

通常將兩個非點狀物體之間的距離定義為它們之間點對之間的最短距離。已知可以計算不同類型物體之間的距離的公式，例如點到直線的距離。在高級數學中，距離的概念已經推廣到抽象度量空間，而且還研究了除歐幾里得距離以外的其他距離。在統計學和優化的某些應用中，有時會使用歐幾里得距離的平方而不是距離本身。

使用這個距離，歐氏空間成為度量空間。相關聯的範數稱為歐幾里得範數。較早的文獻稱之為畢達哥拉斯度量。

定義

在歐幾里得空間中，點${\displaystyle x=(x_{1},\cdots ,x_{n})}$和${\displaystyle y=(y_{1},\cdots ,y_{n})}$之間的歐氏距離為

${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

向量${\displaystyle {\vec {x}}}$的自然長度，即該點到原點的距離為

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}}$

它是一個純數值。在歐幾里得度量下，兩點之間線段最短。

平方歐幾里得距離

在許多應用中，特別是在比較距離時，在計算歐幾里得距離時省略最後的平方根可能更方便，因為平方根不會改變順序（若且唯若${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$時${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$）。省略後得到的值是歐幾里得距離的平方，稱為平方歐幾里得距離。^[1]例如，歐幾里得最小生成樹可以僅使用距離之間的順序來確定，而不需要它們的數值。比較平方距離會產生相同的結果，但避免了不必要的平方根計算，並迴避了數值精度問題。^[2]作為一個方程，平方距離可以表示為平方和： $${\displaystyle d^{2}(x,y)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}.}$$

除了應用於距離比較之外，平方歐氏距離在統計學中也具有重要意義，它可用於最小二乘法，這是一種通過最小化觀測值和估計值之間的平方距離的平均值來曲線擬合數據統計估計值的標準方法^[3]，也是比較概率分布的最簡單散度形式。^[4]