布朗常數

1919年，挪威數學家瑋哥·布朗（Viggo Brun）證明了所有孿生素數的倒數之和收斂於一個數學常數，稱為布朗常數（Brun's constant），記為B₂ （OEIS數列A065421）。他的證明也對篩法的發展造成歷史性的影響，而這是因為他為了證明此定理而開發了布朗篩法這種篩法並進而影響質數研究之故。

布朗常數

識別
發現	瑋哥·布朗
符號	${\displaystyle B_{2}}$
位數數列編號	A065421
性質
定義	${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}}$
表示方式
值	1.902160583
二進制	1.111001101…
八進制	1.715717767…
十進制	1.902160583…
十六進制	1.E6F3FEF7…
閱 論 編

數學描述

B₂ （OEIS數列A065421）的形式如下：

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

以上收斂的結論，稱為布朗定理。而所有素數的倒數之和則是發散的。假如以上的級數發散，則我們立刻就可以證明孿生素數猜想。但由於它收斂，我們就不知道是否有無窮多個孿生素數（若孿生素數之平方根的倒數和發散，則亦可知其為無限多）。類似地，如果證明了布朗常數是無理數，也立刻就可以證明孿生素數猜想。但如果它是有理數，則仍然無法知道孿生素數是不是無限的。

我們知道1.9 < B₂，但不知道是否能大於2。

數值估計

這數列收斂極慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十億項彼此相加後，其相對誤差值依舊超過5%。^[1]

Thomas R. Nicely把孿生素數算到10¹⁴，估計布朗常數大約為1.902160578^[1]，Nicely在這過程中也發現了奔騰浮點除錯誤；之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1.6×10¹⁵的孿生質數上，但這還不是截至目前為止最大的計算。

目前最精確的估計是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年發現的，他們把孿生素數算到了10¹⁶：^[2]

B₂ ≈ 1.902160583104.

截至目前為止，對於布朗常數的估計如下：

年分	B2	小於#的孿生質數數量	發現者
1976	1.902160540	1 × 1011	Brent
1996	1.902160578	1 × 1014	Nicely
2002	1.902160583104	1 × 1016	Sebah及Demichel

最後一項是根據小於${\displaystyle 10^{16}}$的孿生質數和1.830484424658...的外推而來。Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在廣義黎曼猜想成立的狀況下，B₂ < 2.1754；而在不假定任何條件的狀況下，B₂ < 2.347。^[3]

除此以外，還有一個四胞胎素數的布朗常數，它是所有的四胞胎素數的倒數之和，記為B₄：

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

它的值為

B₄ =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根據Nicely的說法，其誤差範圍的置信區間為99%。^[1]

這常數不該跟也記做B₄、對於形如${\displaystyle (p,p+4)}$的質數對倒數和的表兄弟質數的布朗常數搞混，倭爾夫（Wolf）估計說形如${\displaystyle (p,p+n)}$的質數對的倒數和大約為${\displaystyle {\frac {4}{n}}}$。

延伸結果

設${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$（OEIS數列A005597）為孿生質數常數，則有猜想認為

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

特別地，對於任意充分大的${\displaystyle x0}$以及任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

對於特殊情況，目前已有證明；在近期，Jie Wu正明說對於任意充分大的${\displaystyle x0}$而言，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

其中4.5的部分相當於上述的${\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}$。

數學之外

Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦處理長除法時一直出錯^[4] 。他用一個數字去除以824,633,702,441時，答案一直是錯誤的，而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發，進而造成Intel的公關災難，並導致英特爾在1994年受到4.75億美元的損失。^[5]

另外Google曾使用三個數學常數作為交易金額，而其中一個常數是布朗常數。Google曾在北電網路的專利交易中出價1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常數的約略值。

參見

• 孿生素數
• 孿生素數猜想
• 埃拉托斯特尼篩法
• 素數判定法則
• Meissel-Mertens常數
• 奔騰浮點除錯誤─Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的技術錯誤。

參考資料

1. Nicely, Thomas R. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). 18 January 2010 [16 February 2010]. （原始內容存檔於8 December 2013）.
2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Introduction to twin primes and Brun's constant computation. CiteSeerX 10.1.1.464.1118 .
3. Klyve, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant. [24 May 2021]. （原始內容存檔於2023-05-13）.
4. Nicely, Thomas. Pentium FDIV flaw FAQ. trnicely.net. August 19, 2011 [June 18, 2019]. （原始內容存檔於2019-06-18）.
5. 1994 - Annual Report. Intel. June 20, 2020 [June 20, 2020]. （原始內容存檔於February 26, 2017）.

參考文獻

• Finch, S. R. "Brun's Constant." §2.14 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 133-135, 2003.
• Segal, B. "Généralisation du théorème de Brun." Dokl. Akad. Nauk SSSR, 501-507, 1930.

外部連結

• 布朗常數的計算
• 埃里克·韋斯坦因. Brun's Constant. MathWorld.
• Brun's constant at PlanetMath.