1 + 2 + 4 + 8 + …

在數學領域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一個無窮級數，它的每一項都是2的冪。作為幾何級數，它以 1 為首項，2 為公比。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}.}$

1+2+3+4 的部分和。

作為實數級數，他發散到無窮，所以在一般意義下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

在歷史和數學教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數，其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。

求和

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 1, 3, 7, 15, …，由於該數列發散到無窮，所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮，包括切薩羅求和法和阿貝爾求和法。^[1]

另一方面，有一種廣義方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和為有限值 -1。相應的冪級數

${\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}$

的收斂半徑為 ¹/₂，因此它在 x = 1 時不收斂。然而，這樣定義的函數 f 在去掉點 x = ¹/₂ 後，具有到複數平面唯一的解析開拓，並且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由於 f(1) = −1，原級數 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E)，其和為 −1，並且 -1 是級數的(E)和。（此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在無窮級數上的研究而得）^[2]

用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數，例如：

${\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}$

並用 y = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 y = 2x 等價轉換。

事實上(E)和為1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一個有限值，這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性質，包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1，因此它令下面的操作有效：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}$

在某種意義下，s = ∞ 是方程式 s = 1 + 2s的一個解（例如∞是黎曼球上莫比烏斯轉換z → 1 + 2z 的兩個不動點之一）。如果某種已知的求和方法返回一個常數s，例如不是∞，那麼這是容易確定的。在這種情形下s可能由方程式的兩邊消去，得到 0 = 1 + s，所以 s = −1。^[3]

注釋

1. Hardy p.10
2. Hardy pp.8, 10
3. The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy p.19.

參考文獻

• Gardiner, A. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes Dover. Dover. 2002 [1982]. ISBN 0-486-42538-X.
• Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.

更多資料

• Barbeau, E.J., and P.J. Leah. Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica. May 1976, 3 (2): 141–160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6.
• Euler, Leonhard. De seriebus divergentibus. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1760, 5: 205–237 [2009-10-25]. （原始內容存檔於2013-09-26）.
• Ferraro, Giovanni. Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730. Annals of Science. 2002, 59: 179–199. doi:10.1080/00033790010028179.
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• Sierpińska, Anna. Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics. November 1987, 18 (4): 371–396. doi:10.1007/BF00240986.