韋伯分布

韋伯分布（Weibull distribution）是可靠性分析和壽命檢驗的理論基礎。

韋伯分布

機率密度函數
累積分布函數
母數	${\displaystyle \lambda >0\,}$尺度母數（實數） ${\displaystyle k>0\,}$形狀母數（實數）
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
機率密度函數	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
累積分布函數	${\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
期望值	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$
中位數	${\displaystyle \lambda (\ln(2))^{1/k}\,}$
眾數	${\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}$ if ${\displaystyle k>1}$
變異數	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}$
偏度	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
峰度	見內文
熵	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$
動差母函數	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1}$
特徵函數	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$

例如，可以使用此分布回答以下問題：

預計將在老化期間失效的項目所占的百分比是多少？例如，預計將在 8 小時老化期間失效的保險絲占多大百分比？

預計在有效壽命階段有多少次保修索賠？例如，在該輪胎的 50,000 英里有效壽命期間預計有多少次保修索賠？

預計何時會出現快速磨損？例如，應將維護定期安排在何時以防止發動機進入磨損階段？

歷史

1927年，莫里斯·弗雷歇首先給出這一分布的定義。

1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布時，第一次應用了韋伯分布。

1951年，瑞典工程師、數學家瓦洛迪·韋伯詳細解釋了這一分布，於是該分布便以他的名字命名為韋伯分布。

定義

從機率論和統計學角度看，韋伯分布是連續性的機率分布，其機率密度為：

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

其中，${\displaystyle x}$是隨機變量，${\displaystyle \lambda >0}$是比例母數（scale parameter），${\displaystyle k>0}$是形狀母數（shape parameter）。顯然，它的累積分布函數是擴展的指數分布函數，而且韋伯分布與很多分布都有關係。如，當${\displaystyle k=1}$，它是指數分布；${\displaystyle k=2}$時，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性質

均值

${\displaystyle E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$ 其中，${\displaystyle \Gamma }$是伽馬（gamma）函數。

方差

${\displaystyle Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right],}$

矩函數

偏度

${\displaystyle skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}}$

峰度

${\displaystyle kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{2}}}}$

應用

生存分析

工業製造

研究生產過程和運輸時間關係

極值理論

預測天氣

可靠性和失效分析

雷達系統

對接受到的雜波信號的依分布建模

擬合度

無線通信技術中，相對指數衰減頻道模型，Weibull衰減模型對衰減頻道建模有較好的擬合度

量化壽險模型的重複索賠

預測技術變革

風速

由於曲線形狀與現實狀況很匹配，被用來描述風速的分布