偏度

偏度（英語：skewness），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數機率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味著在機率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內^[1]）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味著在機率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數^[1]）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味著其為對稱分布。

負偏態（左）和正偏態（右）

偏度不為零的實驗數據樣本（小麥胚芽鞘的向地反應：1,790）

介紹

偏度分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。^[2]。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。^[2]。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義

隨機變數${\displaystyle X}$的偏度${\displaystyle \gamma _{1}}$為三階標準動差，可被定義為：

${\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}$

其中${\displaystyle \mu _{3}}$是三階主動差，${\displaystyle \sigma }$是標準差。${\displaystyle E}$是期望值算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用${\displaystyle \mathrm {Skew} [X]}$來表示。老教科書過去常常用${\displaystyle {\sqrt {\beta _{1}}}}$來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非主動差E[X³]來表示偏度的公式：

${\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}$

樣本偏度

具有${\displaystyle n}$個值的樣本的樣本偏度為：

${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$

其中${\displaystyle {\overline {x}}}$是樣本平均值，${\displaystyle m_{3}}$是三階樣本主動差，${\displaystyle m_{2}}$是二階樣本中心距，即樣本變異數。

性質

當： ${\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}$ 時，偏度可以是無窮大的。

或者當： ${\displaystyle \Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}}$（${\displaystyle x}$為負）及

${\displaystyle \Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}}$（${\displaystyle x}$為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分布形式比如：

${\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}$

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定${\displaystyle Y}$為${\displaystyle n}$個獨立變量之和並且這些變量和${\displaystyle X}$具有相同的分布，那麽${\displaystyle Y}$的三階累積量是${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$倍，${\displaystyle Y}$的二階累積量也是${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$倍，所以： ${\displaystyle {\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}}$。根據中央極限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見

• 峰度
• 主動差

註釋

1. 存档副本. [2018-12-14]. （原始內容存檔於2020-11-12）.
2. 存档副本. [2010-10-30]. （原始內容存檔於2011-08-11）.

參考資料

• Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始內容存檔於2020-08-20）.
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.