遞進階乘與遞降階乘

在數學中，階乘冪（英語：Factorial power）是基於自然數數列積的一種運算，分為遞進階乘（英語：Rising factorial）和遞降階乘（英語：Falling factorial），或稱上升階乘和下降階乘，

定義

遞進階乘與遞降階乘有多種書寫方式。

由里奧·珀赫哈默爾（英語：Leo August Pochhammer）引進的珀赫哈默爾符號（Pochhammer symbol）是常用的一種，分別為${\displaystyle \ x^{(n)}}$ 與 ${\displaystyle \ (x)_{n}}$ 。

一種較為少見的寫法將遞進階乘記作 ${\displaystyle \ (x)_{n}^{+}}$ 。

葛立恆、高德納與奧倫·帕塔什尼克（英語：Oren Patashnik）在《具體數學》一書中，則引進符號 ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ 與 ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ 。

遞進階乘

在組合學和特殊函數理論中，遞進階乘用於表達上升自然數數列的積，定義為

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$

遞降階乘

在組合學中也常用遞降階乘：

${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}$

另外，值得一提的是遞降階乘實際上是排列 ${\displaystyle P_{n}^{x}}$，詳見排列。

兩者的關係

遞進階乘與遞降階乘，兩者之間的關係為：

${\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}}$

它們與階乘的關係為：

${\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!}$

擴展

零次冪

零次冪的遞進階乘與遞降階乘都定義為空積 1 :

${\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1}$ 。

實數

運用伽瑪函數，階乘冪的定義域可以擴展到實數。

遞進階乘的定義變為

${\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots }$

遞降階乘則為

${\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots }$

特性

遞進階乘與遞降階乘都能以二項式係數形式表達：

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$

${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}$

於是二項式係數適用的許多性質都適用於遞進階乘與遞降階乘。

顯然，遞進階乘與遞降階乘作為 n 個連續整數的積，它定能被 n 整除，即

${\displaystyle n|x^{\overline {n}}}$ ；

${\displaystyle n|x^{\underline {n}}}$ 。

當 n=4 ，遞進階乘與遞降階乘必定能表達為一個完全平方數減1，即

${\displaystyle x^{\overline {4}}=k^{2}-1}$；

${\displaystyle x^{\underline {4}}=k^{2}-1}$ 。

遞進階乘與遞降階乘遵從一個類似二項式定理的規則:

${\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}$

${\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}$

其中係數為二項式係數。

因為遞降階乘是多項式環的基礎，我們可以將遞降階乘的積表示為遞降階乘的線性組合：

${\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}$

等式右邊的係數則為二項式係數。

一般化

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}$

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}$

使用這個記號，原來的遞進階乘與遞降階乘便記作 ${\displaystyle [x]^{k/1}}$ 和 ${\displaystyle [x]^{k/-1}}$ 。

與亞微積分的關係

差分方程里常使用遞降階乘。其應用與微積分學中的泰勒定理非常相似，不過將微分替換為對應的差分。只是在差分中，遞降階乘 ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ 替代微分中的 ${\displaystyle x^{k}}$ 例如：

${\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}$

與

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}$

這種相似性在數學中稱為亞微積分。亞微積分涵蓋如多項式的二項式型和謝費爾序列。

程序實現

Mathematica

${\displaystyle {\text{Pochhammer}}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$^[1]

參考文獻

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8.
• Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Pochhammer Symbol. MathWorld.
• Elementary Proofs （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

1. Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].