閉形式和恰當形式

在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個閉形式 ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的核，即 ${\displaystyle d\alpha =0}$的微分形式；而恰當形式(恰當微分形式) ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的像，即存在某個微分形式 ${\displaystyle \beta }$ 使得 ${\displaystyle \alpha =d\beta }$，${\displaystyle \beta }$ 稱為關於 ${\displaystyle \alpha }$ 的一個「本原」。

因為 ${\displaystyle d^{2}=0}$，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義，因為 ${\displaystyle d}$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0-形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互上同調的。這便是說，如果 ${\displaystyle \zeta }$ 與 ${\displaystyle \eta }$ 是閉形式，且存在某個 ${\displaystyle \beta }$ 使得

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}$

則我們說 ${\displaystyle \zeta }$ 與 ${\displaystyle \eta }$ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 與 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0-形式就是函數，2-形式是函數乘以基本面積元 ${\displaystyle dx\wedge dy}$，故只有 1-形式

${\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}$

具有真正的意義，其外導數 ${\displaystyle d}$ 是

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}$

這裡下標表示偏導數。從而 ${\displaystyle \alpha }$「閉」的條件是

${\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}$

當 ${\displaystyle h(x,y)}$ 是一個函數時則

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}$

「恰當形式是閉形式」便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上，恰當 1-形式相當於有勢場（保守場），閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

龐加萊引理

龐加萊引理斷言：如果 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中可縮開子集，對任何整數 ${\displaystyle p>0}$，任何定義在 ${\displaystyle X}$ 上的光滑閉 ${\displaystyle p}$-形式 ${\displaystyle \alpha }$ 是恰當的（這只在 ${\displaystyle p\leq n}$ 有內容）。

可縮意味著存在同倫映射 ${\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X}$ 將 ${\displaystyle X}$ 形變為一點。從而任何 ${\displaystyle X}$ 中的閉鏈 ${\displaystyle c}$ 都是某個「錐」的邊緣；我們可以取錐為 ${\displaystyle X}$ 在同倫下的像。這個性質的對偶版本給出了龐加萊引理。

更確切地，我們將 ${\displaystyle X}$ 與柱 ${\displaystyle X\times [0,1]}$ 聯繫起來，分別通過映射 ${\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)}$與${\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)}$與頂端和底面等價。在微分形式上，誘導拉回映射 ${\displaystyle j_{1}^{*}}$與 ${\displaystyle j_{0}^{*}}$ 由上鏈同倫聯繫：

${\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .}$

令 ${\displaystyle \Omega ^{p}(x)}$表示 ${\displaystyle X}$ 上的 ${\displaystyle p}$-形式，映射${\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}$是柱映射的對偶，定義為：

${\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},}$

這裡 ${\displaystyle dx^{p}}$ 是一個不含 ${\displaystyle dt}$ 的單項 ${\displaystyle p}$-形式。所以如果${\displaystyle F}$是${\displaystyle X}$到一點${\displaystyle Q}$的同倫形變，那麼

${\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .}$

在形式上：

${\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .}$

將這兩個等式代入上鏈同倫等式便證明了龐加萊引理。

這個引理的一個推論是德拉姆上同調是同倫不變量。龐加萊引理的本質是局部的，大範圍的結果就是德拉姆定理。

不可縮空間不一定有平凡的德拉姆上同調。例如，在${\displaystyle t\in [0,1]}$參數化圓周${\displaystyle S^{1}}$上，閉 1-形式${\displaystyle dt}$不是恰當的（注意：${\displaystyle t}$不能定義為整個 ${\displaystyle S^{1}}$上的函數，但${\displaystyle dt}$是一個良定的閉形式）。這是因為恰當形式在圓周上積分為 0，但${\displaystyle dt}$在圓周上積分是${\displaystyle 2\pi }$。

參考文獻

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7
• 陳維桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7