谷山-志村定理

谷山－志村定理（英語：Taniyama-Shimura theorem）建立橢圓曲線（代數幾何的物件）和模形式（數論中用到的某種週期性全純函數）之間的重要聯繫。

定理的證明由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）、理查·泰勒（Richard Taylor）、法國數學家克里斯多福·布勒伊（英語：Christophe Breuil）、美國數學家布萊恩·康萊德（英語：Brian Conrad）和佛瑞德·戴蒙德（英語：Fred Diamond）所完成。

若p是一個質數而E是一個Q（有理數域）上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義E的方程式模p；除了有限個p值，會得到有n_p個元素的有限體F_p上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列

a_p = n_p − p,

這是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅立葉轉換，每個模形式也會產生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。谷山-志村定理說：

「所有Q上的橢圓曲線是模的。」

通俗而言，橢圓方程式與模形式是一一對應的，每個橢圓方程式都可以用模形式表達出來，而費馬大定理和谷山－志村猜想是共存關係。如果費馬大定理成立則谷山-志村猜想也成立，反之亦然。

歷史

1955年9月，日本數學家谷山豐提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進嚴格性。谷山於1958年自殺身亡。在1960年代，它和統一數學中的猜想朗蘭茲綱領聯繫起來，並且是關鍵的組成部分。猜想由安德烈·韋伊於1970年代重新提起並得到推廣，韋伊的名字有一段時間和它聯繫在一起。儘管有明顯的用處，這個問題的深度在後來的發展之前並未被人們所感覺到。

1980年代，德國數學家格哈德·弗雷（英語：Gerhard Frey）提出谷山－志村猜想（那時還是猜想）應該蘊含費馬最後定理（即費馬大定理），引發不少關注。他試圖通過表明費馬大定理的任何反例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。肯尼斯·阿蘭·黎貝後來證明這一結果（黎貝定理）。在1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒證明谷山－志村定理的一個特殊情況（半穩定橢圓曲線的情況），這個特殊情況足以證明費馬大定理。

完整的證明最後於1999年由布勒伊、康萊德、戴蒙德和泰勒作出，他們在懷爾斯的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。

數論中類似於費馬最後定理的幾個定理可以從谷山－志村定理得到。例如：沒有立方可以寫成兩個互質n次冪的和，n ≥ 3。（n = 3的情況已為歐拉所知）

在1996年3月，懷爾斯和加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲（Robert Phelan Langlands）分享沃爾夫數學獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認為對最終完成的證明有著決定性影響。

參考

• Henri Darmon: A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. Contains a gentle introduction to the theorem and an outline of the proof.
• Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations, Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521–567. Contains the proof.
• A Bluffer's Guide to Fermat's Last Theorem（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）--原始文獻集