萊維過程

萊維過程（Lévy process）源於法國數學家保羅·皮埃爾·萊維，是連續時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連續（Càdlàg）的隨機過程。著名的例子有維納過程和卜瓦松過程。

定義

一個隨機過程${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$是一個萊維過程如果符合以下條件：

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$ 幾乎確定。
2. 獨立增量：對任何${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty }$, ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$相互獨立。
3. 穩定增量：對任何${\displaystyle s<t\,}$, ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$與${\displaystyle X_{t-s}\,}$有相同分布
4. ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$ is 幾乎確定右連左極.

性質

獨立增量

設X_t是一個連續時間上的隨機過程。也就是說，對於任何固定的t ≥ 0，X_t是一個隨機變數。過程的增量為差值X_s − X_t（任意的時間t < s）。 獨立增量意味著對於任何時間s > t > u > v，X_s − X_t和X_u − X_v相獨立。

穩定增量

如果增量X_s − X_t的分布只依賴於時間間隔s − t，則稱增量是穩定的。

例如，對於維納過程，增量X_s − X_t服從均值為0，變異數為s − t的常態分布。

對於卜瓦松過程，增量X_s − X_t服從指數為s − t的卜瓦松分布

可分性

萊維過程與無限可分分布有關：

• 增量的分布是無窮可分的。即對任意給定的n，X_t的分布可以表示為n個與X_t/n同分布的隨機變數的和的分布。
• 反之，對於每個無窮可分的分布，可以構造出一個與之對應的Lévy過程。

矩

當萊維過程的n階矩${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$存在有限時， 它滿足二項式等式：

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

例子

維納過程

定義
X為維納過程（或者標準布朗運動） 若且唯若

1. 對任何${\displaystyle \scriptstyle t\geq 0}$， 隨機變數${\displaystyle X_{t}}$服從常態分布${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,t)}$,
2. 它的軌跡是幾乎處處連續的；即， 對於幾乎所有的事件${\displaystyle \scriptstyle \omega }$，關於t的函數${\displaystyle \scriptstyle \omega \mapsto X_{t}(\omega )}$是連續的。

性質

• 它的傅立葉轉換為：

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)}$

其他性質可參考詞條布朗運動。

複合卜瓦松過程

定義
X為一個實參數為${\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}$，測度為${\displaystyle \scriptstyle \nu }$ 複合卜瓦松過程（英語：Compound Poisson process）若且唯若它的傅立葉轉換為：

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(ct\left(\int _{\mathbb {R} }e^{i\theta x}\nu (dx)-1\right)\right)}$.

性質

• 參數為 ${\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}$，測度為Dirac測度（英語：Dirac measure）${\displaystyle \scriptstyle \nu =\delta _{1}}$的複合卜瓦松過程為卜瓦松過程.
• 設N為參數為${\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}$的卜瓦松過程，${\displaystyle \scriptstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}Y_{k}}$為一個隨機漫步（${\displaystyle \scriptstyle Y_{1}}$的分布為${\displaystyle \scriptstyle \nu }$），那麼${\displaystyle \scriptstyle X_{t}=S_{N_{t}}}$為一個複合卜瓦松過程。

參閱

• 獨立同分布
• 維納過程
• 卜瓦松過程
• 馬可夫鏈

參考來源

翻譯自英語、法語版維基詞條。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999