一次方程式

一元一次方程式也被稱為線性方程式，因為在笛卡兒坐標系上任何一個一次方程式的圖形都是一條直線。組成一次方程式的每一項必須是常數或者是一個常數和一個變量的乘積。且方程式中必須包含一個變量，因為如果沒有變量只有常數，式子則是代數式而非方程式。^[1]

如果一次方程式中只包含一個文字符號，且最高次方為一，那麼該方程式就是一元一次方程式； 如果包含兩個文字符號，且最高次方為一，那麼就是二元一次方程式；以此類推。

一元一次方程式

一元一次方程式是指一個方程式中僅含有一個變量（亦即未知數），且等號兩邊至少有一個一次單項式，且未知數的指數為${\displaystyle 1}$。

任意一個一元一次方程式皆能化成${\displaystyle ax+b=0}$（${\displaystyle a\neq 0}$）的形式，它的解為${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$。以下是一個例子：

${\displaystyle 3x-17=-17x+3}$

它的解法是

${\displaystyle 20x=20}$（移項後合併同類項）

${\displaystyle x=1}$（兩邊同除以${\displaystyle 20}$）

一元一次方程式是一個線性方程式，二次項${\displaystyle x^{2}}$ 或二次以上的項是不容許出現的。

公式

${\displaystyle {\frac {x-a}{b}}}$

注意：當 ${\displaystyle a=0}$ 時，

${\displaystyle ax+b=0}$ 不是一元一次方程式。

${\displaystyle 0x=0}$可以推出${\displaystyle 0+b=0}$。 如果 ${\displaystyle b\neq 0}$，此方程式無解；如果 ${\displaystyle b=0}$，則此方程式有無限多解。

二元一次方程組

求解二元一次方程組可以使用代入消去法或加減消去法。

代入消去法

代入消去法就是先利用其中一個方程式，將含有其中一個未知數的代數式表示另一個未知數。然後代入另一個方程式，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

例如：

${\displaystyle {\begin{cases}2x-1=9\\x+y=36\end{cases}}}$

解：

${\displaystyle 2x-1=9}$

得

${\displaystyle x=5}$

再代入

${\displaystyle x+y=36}$

即

${\displaystyle 5+y=36}$

從而求出

${\displaystyle y=36-5=31}$

加減消去法

加減消去法就是將兩個方程式相加或相減，從而消去其中一個未知數，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

通常可以先將其中一方程式的兩邊同時乘以一個不是0的數，使其中一個未知數的係數與另外一個方程式對應的係數相同或為相反數，再將兩個方程式相加或相減。

例如：

${\displaystyle {\begin{cases}x+y=13\\2y-x=2\end{cases}}}$

把兩式相加消去x，即

${\displaystyle y+2y=13+2}$

從而求出

${\displaystyle y=5}$

克拉馬法則

主條目：克拉瑪法則

一次函數，不等式與一次方程式的關係

一次函數${\displaystyle y=ax+b}$中，函數圖象與x軸的交點的橫坐標即為對應${\displaystyle ax+b=0}$的解。

線性函數與線性化

這是一個二元一次方程組的坐標系表示圖，藍線與紅線分別各自表示一個二元一次方程式，兩線相交處就是這個方程組的解

在上圖的例子中（但不限於此例）變量${\displaystyle y\,}$是變量${\displaystyle x\,}$的函數，我們統一表示為${\displaystyle y=f(x)\,}$。函數${\displaystyle y=f(x)\,}$和方程式${\displaystyle f(x)-y=0\,}$的圖形一致，二者形成一種對應關係。我們在線性化等問題中習慣將一元一次方程式稱為線性方程式，相應地，我們也把一元一次函數稱為線性函數。

線性函數${\displaystyle y=f(x)\,}$有如下特性：

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$
2. ${\displaystyle f(ax)=af(x)}$

其中${\displaystyle a\,}$是常數。

微分性質： 若線性函數表達式為 ${\displaystyle y=kx+b}$（${\displaystyle k\neq 0\,}$），則 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=k\,}$，${\displaystyle {\frac {d^{(n)}y}{dx^{(n)}}}=0\,}$（${\displaystyle n\geq 2}$）。 由此可知，線性函數沒有駐點，沒有極大值和極小值，且線性函數的斜率就是未知數 ${\displaystyle x\,}$ 的係數。

可以利用線性函數的圖形對二元一次方程組進行求解，這類問題就是線性化問題。

參見

• 二次方程式
• 直線 – 斜率
• 一次不定方程式
• 微積分 – 微分 – 駐點 – 反曲點
• 格林函數

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Linear Equation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-03-05]. （原始內容存檔於2022-05-15） （英語）.