維廷格函數不等式

數學上，實函數的維廷格不等式是傅立葉分析中的一條不等式，得名於威廉·維廷格（德語：Wilhelm Wirtinger）。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。

定理

第一形式

設 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 為週期 2π 的周期函數，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(x)\,dx=0.}$

則

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx\geq \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)\,dx}$

其中等號成立當且僅當 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 對某些 a 和 b 成立（換言之，對某些 c 和 d, 有 f(x) = c sin (x + d) ）。

此形式的維廷格不等式即是一維情形下的龐加萊不等式，並且具有最優的常數（龐加萊常數）。

第二形式

以下相關的不等式也稱為維廷格不等式：(Dym & McKean 1985):

若 f 為 C¹ 函數（即連續並具有連續導數）使得 f(0) = f(a) = 0, 則

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{a}|f|^{2}\leq a^{2}\int _{0}^{a}|f'|^{2}.}$

此形式的維廷格不等式即是一維的弗里德里希不等式（英語：Friedrichs' inequality）。

證明

兩者證明類似。以下給出第一條不等式的證明。由於 f 滿足狄利克雷條件，有傅立葉展開

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right).}$

由於 f 的積分為零，有 a₀ = 0. 又由帕塞瓦爾恆等式，有

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$

和

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

各項中 ${\displaystyle (a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$ 非負，而 n² ≥1，故欲證的不等式成立。等號成立當且僅當對任意的 n ≥ 2, 皆有a_n = b_n = 0.

參考文獻

• Dym, H; McKean, H, Fourier series and integrals, Academic press, 1985, ISBN 978-0-12-226451-1
• Paul J. Nahin（英語：Paul J. Nahin） (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press ISBN 0-691-11822-1

• Komkov, Vadim（英語：Vadim Komkov） (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.

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