此條目的主題是數學分析中關於傅立葉級數的定理。關於數論中的狄利克雷定理,請見「狄利克雷定理」。在數學分析中,狄利克雷定理(或若爾當—狄利克雷定理,狄利克雷條件)是關於傅立葉級數逐點收斂的一個結果。這個定理的最初版本是由德國科學家狄利克雷在公元1829年證明的[1]。由於當時還沒有出現適合的積分理論,狄利克雷的證明只能適用於足夠規則的函數(除了在有限點以外都單調的函數)。 定理的推廣版本則是由法國數學家卡米爾·若爾當在1881年的證明的,適用於所有局部有界變差函數[2]。 定理的敘述 設 f {\displaystyle f} 為一個在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的周期性的局部可積函數,其周期為 2 π {\displaystyle 2\pi } 。給定 x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } ,假設有以下條件成立: 函數 f {\displaystyle f} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 處有左極限和右極限,分別記為 f ( x 0 + ) {\displaystyle f(x_{0}^{+})} 和 f ( x 0 − ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})} 。 存在正實數: α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ,使得以下的兩個積分收斂: ∫ 0 α | f ( x 0 + t ) − f ( x 0 + ) | t d t , ∫ 0 α | f ( x 0 − t ) − f ( x 0 − ) | t d t {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t} 那麼,函數 f {\displaystyle f} 的傅立葉級數在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 處收斂,並且有: lim n ( S n f ( x 0 ) ) = 1 2 ( f ( x 0 + ) + f ( x 0 − ) ) {\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))} 定理成立的一個特例是當函數 f {\displaystyle f} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 處有左導數和右導數的時候,又或者是當函數是分段 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 函數(見光滑函數)的時候。 證明 定理的證明是基於以下事實:傅立葉函數可以通過卷積以及擁有良好性質的三角多項式:狄利克雷核來計算。 D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x = sin ( ( n + 1 2 ) x ) sin ( x / 2 ) , {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},} S n ( f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) D n ( x − t ) d t = 1 2 π ∫ − π π D n ( t ) f ( x − t ) d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt} 這裡使用的是狄利克雷核的第二種形式: S n ( f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π sin ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x − t ) sin t 2 d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt} 這種寫法接近於使用黎曼-勒貝格定理所需的條件,唯一需要考慮的地方是函數 f ( x − t ) sin ( t / 2 ) {\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}} 在0附近並不一定可積。但是由於: f ~ ( x ) = f ( x + ) + f ( x − ) 2 {\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}} 存在,可以考慮將區間 [ − π , 0 ) {\displaystyle [-\pi ,0)} 上的積分用 u = − t {\displaystyle u=-t} 換元,這樣 S n ( f ) ( x ) {\displaystyle S_{n}(f)(x)} 就變成: S n ( f ) ( x ) = ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2 d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt} 因此: S n ( f ) ( x ) − f ~ ( x ) = 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2 d t − 1 2 ( f ( x + ) + f ( x − ) ) {\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)} 而由於狄利克雷核在區間 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 上的積分平均值是1,也就是說: 1 = 1 2 π ∫ − π π D n ( t ) d t = 1 2 π ∫ − π π sin ( ( n + 1 2 ) t ) sin ( t / 2 ) d t = 2 ⋅ 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) sin ( t / 2 ) d t {\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt} 1 2 = 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) sin ( t / 2 ) d t {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt} 因此: S n ( f ) ( x ) − f ~ ( x ) = 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2 d t − 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) sin t 2 ( f ( x + ) + f ( x − ) ) d t = 1 2 π ∫ 0 π sin ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x + ) − f ( x − ) sin t 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}} 由條件二,以上的積分中可以使用黎曼-勒貝格定理,因此可以對兩邊求極限,得到: lim n → ∞ S n ( f ) ( x ) = f ~ ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)} 參見 傅立葉級數 狄利克雷核 費耶核 注釋與參考 [1]狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169 [2]若爾當, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230 參考書籍 (英文)Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715.p.46-52. (法文)Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.