狄利克雷定理 (傅立葉級數)

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數學分析中,狄利克雷定理(或若爾當—狄利克雷定理,狄利克雷條件)是關於傅立葉級數逐點收斂的一個結果。這個定理的最初版本是由德國科學家狄利克雷在公元1829年證明的[1]。由於當時還沒有出現適合的積分理論,狄利克雷的證明只能適用於足夠規則的函數(除了在有限點以外都單調的函數)。

定理的推廣版本則是由法國數學家卡米爾·若爾當在1881年的證明的,適用於所有局部有界變差函數[2]

定理的敘述

為一個在上的周期性局部可積函數,其周期為。給定 ,假設有以下條件成立:

  1. 函數 處有左極限和右極限,分別記為
  2. 存在正實數:,使得以下的兩個積分收斂:

那麼,函數 的傅立葉級數在 處收斂,並且有:

定理成立的一個特例是當函數 處有左導數和右導數的時候,又或者是當函數是分段函數(見光滑函數)的時候。

證明

定理的證明是基於以下事實:傅立葉函數可以通過卷積以及擁有良好性質的三角多項式狄利克雷核來計算。

這裡使用的是狄利克雷核的第二種形式:

這種寫法接近於使用黎曼-勒貝格定理所需的條件,唯一需要考慮的地方是函數 0附近並不一定可積。但是由於:

存在,可以考慮將區間上的積分用換元,這樣 就變成:

因此:

而由於狄利克雷核在區間上的積分平均值是1,也就是說:

因此:

由條件二,以上的積分中可以使用黎曼-勒貝格定理,因此可以對兩邊求極限,得到:

參見

注釋與參考

參考書籍

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