狄利克雷定理 (傅立葉級數)

此條目的主題是數學分析中關於傅立葉級數的定理。關於數論中的狄利克雷定理，請見「狄利克雷定理」。

在數學分析中，狄利克雷定理（或若爾當—狄利克雷定理,狄利克雷條件）是關於傅立葉級數逐點收斂的一個結果。這個定理的最初版本是由德國科學家狄利克雷在公元1829年證明的^[1]。由於當時還沒有出現適合的積分理論，狄利克雷的證明只能適用於足夠規則的函數（除了在有限點以外都單調的函數）。

定理的推廣版本則是由法國數學家卡米爾·若爾當在1881年的證明的，適用於所有局部有界變差函數^[2]。

定理的敘述

設 ${\displaystyle f}$ 為一個在${\displaystyle \mathbb {R} }$上的周期性的局部可積函數，其周期為${\displaystyle 2\pi }$。給定 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$，假設有以下條件成立：

1. 函數 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle x_{0}}$ 處有左極限和右極限，分別記為 ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$ 和 ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$。
2. 存在正實數：${\displaystyle \alpha >0}$，使得以下的兩個積分收斂：

${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}$

那麼，函數 ${\displaystyle f}$ 的傅立葉級數在${\displaystyle x_{0}}$ 處收斂，並且有：

${\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}$

定理成立的一個特例是當函數 ${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle x_{0}}$ 處有左導數和右導數的時候，又或者是當函數是分段${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$函數（見光滑函數）的時候。

證明

定理的證明是基於以下事實：傅立葉函數可以通過卷積以及擁有良好性質的三角多項式：狄利克雷核來計算。

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$

${\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}$

這裡使用的是狄利克雷核的第二種形式：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}$

這種寫法接近於使用黎曼-勒貝格定理所需的條件，唯一需要考慮的地方是函數 ${\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}$ 在0附近並不一定可積。但是由於：

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}$

存在，可以考慮將區間${\displaystyle [-\pi ,0)}$上的積分用${\displaystyle u=-t}$換元，這樣 ${\displaystyle S_{n}(f)(x)}$ 就變成：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}$

因此：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}$

而由於狄利克雷核在區間${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$上的積分平均值是1，也就是說：

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}$

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}$

由條件二，以上的積分中可以使用黎曼-勒貝格定理，因此可以對兩邊求極限，得到：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)}$

參見

• 傅立葉級數
• 狄利克雷核
• 費耶核