經典力學方程列表

經典力學是物理學描述宏觀物體運動的分支。^[1]是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度和力。^[2]本列表基於具固定軸的三維歐幾里得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點。^[3]

經典力學概念包括微分方程、流形、李群和遍歷理論。各種物理量相互關聯^[4]。本列表總結了其中最重要的內容。

本文列出了牛頓力學的方程，有關經典力學（包括拉格朗日力學和哈密頓力學）的更一般公式，請參閱分析力學。

經典力學

質量與慣量

通用名	通用符號	定義	國際單位制	量綱
線/表面/體積質量密度	λ或μ用於線密度（μ主要用在聲學），σ用於表面，ρ用於體積。	${\displaystyle m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell }$ ${\displaystyle m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V}$	kg m−n, n = 1, 2, 3	M L−n
質量矩[5]	m （沒有通用符號）	點質量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {r} m}$$ 相對固定軸${\displaystyle x_{i}}$的離散質量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$$ 相對固定軸${\displaystyle x_{i}}$的連續質量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r} }$$	kg m	M L
質心	rcom （符號不一定）	第i個質量 ${\displaystyle \mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ 離散質量： $${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}}$$ 連續質量： $${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} V}$$	m	L
二體約化質量	m12, μ= m1 and m2	${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$	kg	M
轉動慣量（MOI）	I	離散質量： $${\displaystyle I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left|\mathbf {r} _{i}\right|^{2}m}$$ 連續質量： $${\displaystyle I=\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\rho \,\mathrm {d} V}$$	kg m2	M L2

導出的運動學物理量

經典粒子的運動學物理量：質量m、位置r、速度v、加速度a

通用名	通用符號	定義	國際單位制	量綱
速度	v	${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$	m s−1	L T−1
加速度	a	${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}$	m s−2	L T−2
加加速度	j	${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}$	m s−3	L T−3
Jounce（英語：Jounce）	s	${\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}}$	m s−4	L T−4
角速度	ω	${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$	rad s−1	T−1
角加速度	α	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}}$	rad s−2	T−2
角加加速度	ζ	${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}}$	rad s−3	T−3

導出的動力學物理量

經典力學下物質的角動量。

左： 固有的自旋角動量S是物體每一點的軌道角動量

右： 對應一個軸的外在軌道角動量L

上：轉動慣量 I以及角速度ω（L不一定會和ω平行）^[6]

下：動量p以及其相對於軸的位置r

。總角動量（spin + orbital）為J

通用名	通用符號	定義	國際單位制	量綱
動量	p	${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$	kg m s−1	M L T−1
力	F	${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t}$	N = kg m s−2	M L T−2
衝量	J, Δp, I	${\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}$	kg m s−1	M L T−1
相對一點r0的角動量	L, J, S	${\displaystyle \mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p} }$ 若各質點的旋轉軸均相交在同一點，可以設定r0 = 0。	kg m2 s−1	M L2 T−1
力相對一點r0的力矩	τ, M	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$	N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
角衝量	ΔL （沒有通用符號）	${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t}$	kg m2 s−1	M L2 T−1

一般能量定義

主條目：機械能

通用名	通用符號	定義	國際單位制	量綱
合力産生的功	W	${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
力學系統所作的功	WON, WBY	${\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }}$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
勢能	φ, Φ, U, V, Ep	${\displaystyle \Delta W=-\Delta V}$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
機械功率	P	${\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}}$	W = J s−1	M L2 T−3

每一個保守力都有對應的勢能。根據以下二個原理，可以設定勢能U的值：

• 保守力為零的時候，勢能也定義為零。
• 保守力作功時，勢能減少。

廣義力學

主條目：分析力學、拉格朗日力學和哈密頓力學

通用名	通用符號	定義	國際單位制	量綱
廣義座標	q, Q		不一定	不一定
廣義速度	${\displaystyle {\dot {q}},{\dot {Q}}}$	${\displaystyle {\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$	不一定	不一定
廣義動量	p, P	${\displaystyle p=\partial L/\partial {\dot {q}}}$	不一定	不一定
拉格朗日量	L	${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$ 其中${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (t)}$以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量，是時間的函數。	J	M L2 T−2
哈密頓量	H	${\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$	J	M L2 T−2
作用量，哈密頓主函數	S, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$	${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t}$	J s	M L2 T−1

運動學

在以下轉動的定義中，角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ，不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量

$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

定義轉動軸${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}}$為r方向上的單位向量，${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$是和角呈切線的單位向量。

	平移	轉動
速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}}$$ 瞬時： $${\displaystyle \mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}}$$	角速度$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}}$$轉動剛體：$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$$
加速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}$$ 瞬時： $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$	角加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}$$ 轉動剛體： $${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }$$
加加速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}}$$ 瞬時： $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}$$	角加加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}}$$ 轉動剛體： $${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a} }$$

動力學

	平移	轉動
動量	$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$ 針對轉動剛體： $${\displaystyle \mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m} }$$	角動量 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$$ 此外積為贗矢量，若r和p都反向（變號），L不會變號。 一般來說，I是二維張量，·表示張量縮並（英語：tensor contraction）。
力和牛頓第二運動定律	作用在系統質心上的合力，等於動量的變化率： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}}$$ 針對許多質點的系統，質點i的運動方程式為：[7] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$$ 其中pi是第i個質點的動量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（來自系統以外的物體）。粒子i不會產生給自身的力。	力矩 力矩（torque）τ也稱為moment of a force，是轉動系統中對應力的物理量：[8] $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}}$$ 若是剛體，牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}}$$ 若針對許多質點，質點i的運動方程為：[9] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}}$$
Yank	Yank是力的變化率： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}$$ 若是固定質量，會變成下式： $${\displaystyle \mathbf {Y} =m\mathbf {j} }$$	Rotatum（英語：Rotatum） Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank，因為是是轉動系統中對應Yank的物理量： $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}}$$
衝量	衝量是動量的變化： $${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt}$$ 針對固定力F： $${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t}$$	Twirl或是角衝量是角動量的變化： $${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt}$$ 針對固定力矩τ： $${\displaystyle \Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t}$$

進動

陀螺的進動角速度為：

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}$$

其中w是自旋物體的重量。

能量

系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化：

通用功—能定理（平移及轉動）

系統以外事物，對曲線路徑C上的質點產生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W為：

$${\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}$$

其中θ是相對單位向量n所定義軸的轉動角度。

動能

物體一開始的速度為${\displaystyle v_{0}}$，後來的速度為${\displaystyle v}$，其動能變化為： $${\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}$$

彈性勢能

遵守胡克定律的彈簧，若一端固定，拉長後，其彈性勢能（英語：elastic potential energy）為

$${\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}$$

其中r₂和r₁是彈簧未固定端，在拉長後以及拉長前的共線座標，方向是往拉長／壓縮的方向，k是彈簧常數。

剛體運動的歐拉方程

主條目：歐拉方程 (剛體運動)

萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様，發表了運動定律，可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上，不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式^[10]：

$${\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}$$

其中I是轉動慣量張量.

通用平面運動

參見：極坐標系 § 向量微積分

前面平面運動的方程可以用在此處，應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$

以下的結果可應用在質點上。

運動學	動力學
位置 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$
速度 $${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$	動量 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)}$$ 角動量 $${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)}$$
加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$	向心力為 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R\mathbf {\hat {e}} _{r}=-\omega ^{2}\mathbf {m} }$$ 其中的m是質量矩（mass moment），科里奧利力為 $${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }=2\omega mv\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$ 科里奧利加速度以及科里奧利也可以寫成： $${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}}$$

連心力運動

針對質量較大的物體，而且因為其他物體所施加的連心力而運動，連心力只和二物體質心的距離有關，其運動方程為：

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

定加速度運動方程

僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化，則必須使用上面的一般微積分學方程，透過積分位置、速度和加速度的定義來找到（見上文） 。

線性運動	旋轉運動
${\displaystyle \mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t}$	${\displaystyle \omega -\omega _{0}=\alpha t}$
${\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t}$	${\displaystyle \theta -\theta _{0}={\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t}$
${\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}}$	${\displaystyle \theta -\theta _{0}=\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})}$	${\displaystyle \theta _{n^{th}}=\omega _{0}+\alpha (n-{\tfrac {1}{2}})}$
${\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})} }$	${\displaystyle \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2\alpha (\theta -\theta _{0})}$

參見：直線運動 § 與旋轉運動的比較

伽利略座標系變換

在古典（伽利略-牛頓）力學裡，將物理定律從一個慣性或加速（包括旋轉）坐標系（參考坐標系是以定速移動，其中包括零速）變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。

以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量，而標示r』, v』, a』 的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F』的的位置、速度、加速度物理量。相對的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。

運動方式	慣性坐標系	加速坐標系
移動 V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度 A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）加速度	相對位置 $${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t}$$ 相對速度 $${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }$$ 等效加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} }$$	相對加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A} }$$ 假想力 $${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }}$$
轉動 Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度 Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）角加速度	相對角位置 $${\displaystyle \theta '=\theta +\Omega t}$$ 相對速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}}$$ 等效加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}}$$	相對加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}}$$ 假想力矩 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }}$$
	將向量T轉換到旋轉座標系 $${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T} }$$

機械諧振子

運動方程

物理情況	術語	平移方程	角方程
簡諧運動 （SHM）	x = 橫向位移 θ = 角位移 A =橫向振幅 Θ = 角振幅	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x}$$ 解： $${\displaystyle x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)}$$	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta }$$ 解： $${\displaystyle \theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)}$$
非受迫阻尼振動	b = 阻尼常數 κ = 扭轉常數	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0}$$ 解（見下文ω）： $${\displaystyle x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)}$$ 諧振頻率： $${\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}}$$ 阻尼率： $${\displaystyle \gamma =b/m}$$ 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： $${\displaystyle \tau =1/\gamma }$$	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0}$$ 解： $${\displaystyle \theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)}$$ 諧振頻率： $${\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}}$$ 阻尼率： $${\displaystyle \gamma =\kappa /m}$$ 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： $${\displaystyle \tau =1/\gamma }$$

角頻率

物理情況	術語	方程
線性無阻尼非受迫簡諧振子	k = 彈簧常數 m = 鐘擺質量	${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$
線性非受迫阻尼諧振子	k = 彈簧常數 b = 阻尼係數	${\displaystyle \omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}}$
低振幅角簡諧振子	I = 相對擺動軸轉動慣量 κ = 扭轉常數	${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}}$
低振幅單擺	L = 擺錘長度 g = 重力加速度 Θ = 角振幅	近似值 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$$ 精確值可以表示成： $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]}$$

機械振盪的能量

物理情況	術語	方程
簡諧運動能量	T = 動能 U = 勢能 E = 總能量	勢能： $${\displaystyle U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )}$$ 在x = A處的最大值： $${\displaystyle U_{\mathrm {max} }{\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}}$$ 動能： $${\displaystyle T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)}$$ 總能量： $${\displaystyle E=T+U}$$
阻尼諧振子能源		${\displaystyle E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}}$

相關條目

• 物理方程列表（英語：List of physics formulae）
• 定義方程 (物理化學)（英語：Defining equation (physical chemistry)）
• 本構關係
• 力學
• 光學
• 電磁學
• 熱力學
• 聲學
• 艾薩克·牛頓
• 波理論方程列表（英語：List of equations in wave theory）
• 相對論方程列表（英語：List of relativistic equations）
• 流體力學方程列表（英語：List of equations in fluid mechanics）
• 重力論方程列表（英語：List of equations in gravitation）
• 電磁學方程列表（英語：List of electromagnetism equations）
• 光學方程列表（英語：List of optics equations）
• 量子力學方程列表（英語：List of equations in quantum mechanics）
• 核物理及粒子物理方程列表（英語：List of equations in nuclear and particle physics）

參考資料

1. Mayer, Sussman & Wisdom 2001，第xiii頁
2. Berkshire & Kibble 2004，第1頁
3. Berkshire & Kibble 2004，第2頁
4. Arnold 1989，第v頁
5. Section: Moments and center of mass. [2024-03-18]. （原始內容存檔於2023-09-26）.
6. R.P. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands. Feynman's Lectures on Physics (volume 2). Addison-Wesley. 1964: 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2.
7. "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
8. "Mechanics, D. Kleppner 2010"
9. "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
10. "Relativity, J.R. Forshaw 2009"

參考書目

• Arnold, Vladimir I., Mathematical Methods of Classical Mechanics 2nd, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2 含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B., Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) 5th, Imperial College Press, 2004, ISBN 978-1-86094-435-2
• Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001, ISBN 978-0-262-19455-6