箕舌線

箕舌線是平面曲線的一種，也被稱為阿涅西的女巫（英語：The Witch of Agnesi）^[1][2][3]。

箕舌線

給定一個圓和圓上的一點O。對於圓上的任何其它點A，作割線OA。設M是O的對稱點。OA與M的切線相交於N。過N且與OM平行的直線，與過A且與OM垂直的直線相交於P。則P的軌跡就是箕舌線。

箕舌線有一條漸近線，它是上述給定圓過O點的切線。

方程

設O是原點，M在正的y軸上。假設圓的半徑是a。

則曲線的方程為 ${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$。

注意如果a=1/2，則曲線化為最簡單的形式： ${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

如果${\displaystyle \theta \,}$是OM與OA的夾角，則曲線的參數方程為：

${\displaystyle x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta .\,}$

如果${\displaystyle \theta \,}$是OA與x軸的夾角，則曲線的參數方程為：

${\displaystyle x=2a\cot \theta ,\ y=2a\sin ^{2}\theta .\,}$

性質

參數a分別為1,2,4,8時的箕舌線

• 箕舌線與漸近線之間的面積是圓面積的四倍（也就是${\displaystyle 4\pi a^{2}}$）。
• 箕舌線繞著漸近線旋轉，則旋轉體的體積為${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$。
• 曲線的重心位於${\displaystyle (0,{\frac {a}{2}})}$。

歷史

皮埃爾·德·費馬曾在1630年研究這條曲線。1703年時格蘭迪（英語：Guido Grandi）提出了建構這條曲線的方法。1718年時格蘭迪建議將這條曲線命名為versoria，意思是張帆的繩子，並將這條曲線的義大利文名稱命名為versiera^[4]

1748年時瑪利亞·阿涅西出版了著名的著作《Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana》，其中箕舌線仍沿用格蘭迪取的名稱versiera^[4]，一恰好當時的義大利文Aversiera/Versiera是衍生自拉丁文的Adversarius，是魔鬼的一個稱呼「與神為敵的」，和女巫是同義詞^[5]。也許因為這個原因，劍橋教授 約翰·科爾森（英語：John Colson）就誤譯了這條曲線。許多近代有關阿涅西及此曲線的著作對於誤譯的原因有些不同的猜測^[6][7][8]斯特洛伊克（英語：Dirk Jan Struik）認為：

versiera這個字是衍生自拉丁文的vertere，但後者也是義大利文avversiera（女魔鬼）的縮寫。英格蘭有些聰敏者將之翻譯成女巫（英語：witch），而這好笑的雙關語仍存於多數的英文教材裡。在費馬的著作（Oeuvres, I, 279-280; III, 233-234）就已經出現這條曲線，其名稱versiera是格蘭迪取的，在牛頓的曲線分類中，它是第63類……第一個使用女巫來描述這條曲線的可能是威廉森在1875年的《Integral calculus》中首次使用^[9]

另一方面，史蒂芬·史蒂格勒認為是格蘭迪自己在玩文字遊戲^[10]。

應用

單一水波的截面類似箕舌線

箕舌線除了其理論的性質外．也常出現在現實生活中．不過這次應用是在20世紀末期及21世紀才有足夠的了解。在為一些物體現象建立數學模型時，會出現箕舌線^[11]。 此方程式近似光線及X光的譜線分佈，也是共振電路中的能量耗散量。

箕舌線和柯西分布的機率密度函數有相同的形式。

光滑小山嶽的截面也類似箕舌線。在數學建模中已用箕舌線作為一種流場的障礙物^[12][13]。

參考文獻

1. John H. Lienhard M.D. Anderson Professor of Mechanical Engineering and History University of Houston (Emeritus). The Engines of Our Ingenuity : An Engineer Looks at Technology and Culture: An Engineer Looks at Technology and Culture. Oxford University Press. 29 June 2000 [9 January 2014]. ISBN 978-0-19-803103-1 （英語）.
2. John H. Lienhard. The Witch of Agnesi. The Engines of Our Ingenuity. 第1741集http://www.uh.edu/engines/epi1741.htm |transcripturl=缺少標題 (幫助). 2002. NPR. KUHF-FM Houston.
3. Weisstein, Eric W. (編). 箕舌线. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
4. C. Truesdell, "Correction and Additions for 'Maria Gaetana Agnesi'", Archive for History of Exact Science 43 (1991), 385-386. doi:10.1007/BF00374764

   • Per Grandi: "...nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera in latino pero Versoria..."
5. Pietro Fanfani, Vocabolario dell' uso toscano, p. 334
6. Women in Mathematics By Lynn M. Osen (1975) p. 45
7. "Fermat's Enigma" by Simon Singh p. 100
8. The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes By David J. Darling (2004) p. 8
9. "173 Find the area between the witch of Agnesi ${\displaystyle xy^{2}=4a^{2}(2a-x)}$ and its asymptote." (Oxford English Dictionary)
10. S.M.Stigler, "Cauchy and the witch of Agnesi: An historical note on the Cauchy distribution", Biometrika, 1974, vol. 61, no.2 p. 375-380
11. 存档副本 (PDF). [2014-01-06]. （原始內容 (PDF)存檔於2006-09-10）.
12. "Mountain Waves the construction of analytical solutions", http://www.cpom.org/people/jcrh/jfm-152.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
13. "Press 1 Numerical simulations of stratified inviscid flowover a smooth obstacle", K.G.Lamb, http://mseas.mit.edu/download/evheubel/LambJFM1994.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）