旋轉體

在數學和工程學中，旋轉體（英語：Solid of revolution）是指平面曲線以同一平面內的一條直線作為旋轉軸進行旋轉所形成的立體幾何圖形。

將一個曲線旋轉

根據古爾丁定理，如果曲線和旋轉軸不相交，那麼旋轉體的體積，等於原曲線所圍成平面圖形的面積乘以該平面圖形的幾何中心經過的距離。

在中學數學中的圓柱、圓錐、球等圖形是較簡單的旋轉體。

計算體積

計算旋轉體的體積有兩種積分的方法，分別是圓盤法和圓柱殼法。

圓盤法

圓盤法圖示

圓盤法是通過將圖形按垂直於旋轉軸的平面切成無數個圓盤，然後沿著旋轉軸進行積分。

曲線${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$ 所圍成圖形繞 ${\displaystyle x}$ 軸旋轉所得體積由下式給出：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx}$

如果${\displaystyle g(x)=0}$（即所圍成的圖形以 ${\displaystyle x}$ 軸為邊），這個式子就變成：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}$

圓柱殼法

圓柱殼法圖示

圓柱殼法是將圖形切割成無數個環形，然後沿半徑進行積分。

曲線${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$ 所圍成圖形繞 ${\displaystyle y}$ 軸旋轉所得體積由下式給出：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}$

如果${\displaystyle g(x)=0}$（即所圍成的圖形以 ${\displaystyle x}$ 軸為邊），這個式子就變成：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)\vert \,dx}$

外部連結

• Solid of Revolution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathWorld
• Plot a solid of revolution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）