平行公設

平行公設（英語：Parallel postulate），也稱為歐幾里得第五公設，因是《幾何原本》五條公設的第五條而得名。這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理，比前四條複雜。公設是說：

如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。

如果α和β的內角和小於180°，則兩直線不斷延伸，在這一側相交。

假定所有歐幾里得公設（當中包括平行公設）都成立的幾何稱為歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是只假設前四條公設的，稱為仿射幾何。^[1] 這只是一個與平行線的性質有關的公設。歐幾里得已在《幾何原本》第I卷定義第23條中定義過平行線了。^[2]。

歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價，也就是假設平行公設成立，可推導出這些性質，反過來假設這些性質的一項為公理，也可以推導出平行公設。其中最重要的一項，也是最常作為公理代替平行公設的，要算是蘇格蘭數學家約翰·普萊費爾提出的普萊費爾公理：

給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。

這裡有個問題要提出來，即在證明第五公設時，平面是不加定義，如果平面作如下定義：滿足第五公設的面定義為平面。這實際上可用公理法對平面作定義。如果有這定義，第五公設是自明的。這才符合直觀。

歷史

很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功，反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由義大利數學家貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）證明了平行公設獨立於前四條公設。

等價命題

很多命題看似與平行線無關，實則與平行公設等價。有些性質看似很明顯，因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裡是一些命題：

1. 三角形內角和為兩直角。
2. 所有三角形的內角和都相等。
3. 存在一對相似但不全等的三角形。
4. 所有三角形都有外接圓。
5. 若四邊形三個內角是直角，那麼第四個內角也是直角。
6. 存在一對等距的直線。
7. 平行滿足遞移性，即若兩條直線都平行於第三條，那麼這兩條直線也平行。

參考文獻

1. non-Euclidean geometries （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, by Dr. Katrina Piatek-Jimenez （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
2. Euclid's Elements, Book I, Definition 23. [2017-09-19]. （原始內容存檔於2017-07-07）.