立方體堆砌

立方體堆砌（Cubic Honeycomb）^[2]是三維空間內唯一的正密鋪，也是28個半正密鋪之一，由立方體堆砌而成，其縮寫為chon^[3]。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為180°的四維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。

提示：此條目的主題不是立方體堆疊。

立方體堆砌 立方蜂巢體
線架圖
類型	正堆砌
家族	立方形堆砌
維度	3
對偶多胞形	立方體堆砌（自身對偶）
類比	正方形鑲嵌
識別
名稱	立方體堆砌
參考索引[1]	J11,15, A1 W1, G22
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	chon
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特記號 （英語：Coxeter notation）	[4,3,4]
纖維流形記號	4−:2
施萊夫利符號	{4,3,4}
性質
胞	{4,3} 棱處相交胞：4×{4,3} 頂點處相交胞：8×{4,3}
面	{4} 棱處相交面：4×{4} 頂點處相交面：12×{4}
邊	∞ 頂點處相交棱：6
歐拉示性數	0
組成與佈局
頂點圖	（正八面體）
對稱性
對稱群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$
空間群	Pm3m
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [4,3,4]
特性
頂點正（英語：vertex-transitive）
閱 論 編

立方形家族裡的多胞形二胞角總是90°，因此總能獨自完成超平面密鋪，這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」，具有${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$對稱性，有施萊夫利符號形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方體堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

簡單立方。

立方體堆砌頂點的笛卡兒坐標為：

(i, j, k)

對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影

對稱性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
實體圖
框線圖

相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身對偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方體堆砌

氯化鈉(NaCl)的晶體結構：面心立方晶格。

作為少有的三維半正堆砌，自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構，在固體物理學中被稱為「立方晶系」，許多固體化合物，如氯化鈉、硫化鋅、氯化亞銅、螢石、三氧化錸和金屬單質，如鋁、釩、鋰等，都具有這種晶系的結構。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系	單斜 三斜	正交	四方	三方	立方
胞 單位晶格	平行六面體	長方體		三方 偏方面體	正方體
點群 階 旋轉對稱群	[ ], (*) Order 2 [ ]+, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]+, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]+, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]+, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]+, (432)
圖示
空間群 旋轉對稱群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]a×[∞]b×[∞]c	[4,4]a×[∞]c	-	[4,3,4]a
考克斯特符號（英語：Coxeter diagram）	-			-

表面著色

作為立方形堆砌家族其中一員，立方體堆砌有${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$對稱性，有施萊夫利符號{4,3,4}，考克斯特符號，除此之外，作為一個空間堆砌，它有Pm3m空間平移對稱性。

而然，立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌，它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表：

名稱	考克斯特標記 空間群	考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）	施萊夫利符號	有限部 分圖像	顏色組合 （字母表示）
立方體堆砌	[4,3,4] Pm3m		{4,3,4}		1: aaaa/aaaa
三次截半半 立方體堆砌	[4,31,1] Fm3m		{4,31,1}		2: abba/baab
截面立方體 堆砌	[4,3,4] Pm3m		t0,3{4,3,4}		4: abbc/bccd
	[[4,3,4]] Pm3m (229)		t0,3{4,3,4}		4: abbb/bbba
正四稜柱 堆砌	[4,3,4,2,∞]		{4,4}×t{∞}		2: aaaa/bbbb
截棱正四稜柱 堆砌	[4,3,4,2,∞]		t1{4,4}×{∞}		2: abba/abba
無窮次無窮次 無窮邊形	[∞,2,∞,2,∞]		t{∞}×t{∞}×{∞}		4: abcd/abcd
無窮次無窮次 無窮邊形	[∞,2,∞,2,∞]		t{∞}×t{∞}×t{∞}		8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方體堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}

空間	S3	E3	H3（英語：雙曲空間）
來源	有限	仿射	緊湊	仿緊	非緊
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}（英語：order-4 dodecahedral honeycomb）	{6,3,4}（英語：order-4 hexagonal tiling honeycomb）	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
圖像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展 對稱群	擴展 標記	階	蜂巢體 （堆砌）
Pm3m (221)	4−:2	[4,3,4]		×1	1, 2, 3, 4, 5, 6
Fm3m (225)	2−:2	[1+,4,3,4] ↔ [4,31,1]	↔	Half	7, 11, 12, 13
I43m (217)	4o:2	[[(4,3,4,2+)]]		Half × 2	(7),
Fd3m (227)	2+:2	[[1+,4,3,4,1+]] ↔ [[3[4]]]	↔	Quarter × 2	10,
Im3m (229)	8o:2	[[4,3,4]]		×2	(1), 8, 9

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展 對稱群	擴展 標記	階	蜂巢體 （堆砌）
Fm3m (225)	2−:2	[4,31,1] ↔ [4,3,4,1+]	↔	×1	1, 2, 3, 4
Fm3m (225)	2−:2	<[1+,4,31,1]> ↔ <[3[4]]>	↔	×2	(1), (3)
Pm3m (221)	4−:2	<[4,31,1]>		×2	5, 6, 7, (6), 9, 10, 11

立方體堆砌是${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌^[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群	纖維流形	方形 對稱群	擴展 對稱群	擴展 標記	擴展 階	蜂巢體 （堆砌）
F43m (216)	1o:2	a1	[3[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2+:2	p2	[[3[4]]]	↔	×2	3
Fm3m (225)	2−:2	d2	<[3[4]]> ↔ [4,3,31,1]	↔	×2	1, 2
Pm3m (221)	4−:2	d4	[2[3[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	4
Im3m (229)	8o:2	r8	[4[3[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	5,  (*)

參考

1. For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
3. Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].
4. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, A000029 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 6-1 cases, skipping one with zero marks

• H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover參與編輯, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11個凸半正鑲嵌、28個凸半正堆砌、和143個凸半正四維砌的全表）
• Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication參與編輯, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • (22頁) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空間鑲嵌)
• A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
• Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
• Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）