穩定分布

在機率論中，穩定分布（Stable distribution，又稱為雷維偏阿爾法-穩定分布（Levy skew alpha-stable distribution））是一種連續機率分布，它是由保羅·皮埃爾·萊維發展起來的。在穩定分布中，獨立同分布的隨機變數之和及它們本身具有相同的分布。

穩定分布

機率密度函數
累積分布函數
母數	${\displaystyle \alpha \in (0,2]\,}$ 指數 ${\displaystyle \beta \in [-1,1]\,}$ 偏度 ${\displaystyle c\in [0,\infty )\,}$ 尺度母數 ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ 位置母數
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
機率密度函數	通常沒有解析式，見下文
累積分布函數	通常沒有解析式，見下文
期望值	當α≤1時未定義，否則等於μ
中位數	見下文 當β=0時，等於μ
眾數	當β=0時，等於μ
變異數	無窮（除了當 α=2，當它是2c2）
偏度	未定義
峰度	未定義
熵	見下文
動差母函數	未定義
特徵函數	${\displaystyle \exp \left[~it\mu -|ct|^{\alpha }\,(1-i\beta \,{\mbox{sgn}}(t)\Phi )~\right]}$ ${\displaystyle \Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,}$ for ${\displaystyle \alpha \neq 1\,}$ ${\displaystyle \Phi =-(2/\pi )\log |t|\,}$ for ${\displaystyle \alpha =1\,}$

更明確的說，如果${\displaystyle X_{1},X_{2}}$為分布${\displaystyle X}$之獨立隨機變數，令${\displaystyle Y=aX_{1}+bX_{2}+c}$為${\displaystyle X_{1},X_{2}}$的線性組合，若${\displaystyle Y}$之分布滿足${\displaystyle dX+e}$，則稱${\displaystyle X}$為穩定分布。如果對於所有的${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$，${\displaystyle e=0}$，則稱${\displaystyle X}$為嚴格穩定。

穩定分布被用作金融數據的分析。比如本華·曼德博發現棉花價格的變化服從穩定分布（${\displaystyle \alpha =1.7}$）。

分布

一個穩定分布可以用尺度${\displaystyle c}$、特性指數${\displaystyle \alpha }$、移位${\displaystyle \mu }$和偏度母數${\displaystyle \beta }$來表示。

偏度母數必須位於區間[−1, 1]內。當它為零時，分布呈對稱，可以稱為雷維阿爾法對稱穩定分布。指數${\displaystyle \alpha }$必須位於區間(0, 2]內。

穩定分布可以用它的特徵函數${\displaystyle \varphi (t)}$的連續傅立葉轉換來定義：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (t)e^{-itx}\,dt}$

其中${\displaystyle \varphi (t)}$可以表示為：

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \,{\textrm {sgn}}(t)\Phi )~\right]}$

其中sgn(t) 是t 的符號，${\displaystyle \Phi }$ 表示為：

${\displaystyle \Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,}$

當${\displaystyle \alpha =1}$時

${\displaystyle \Phi =-(2/\pi )\log |t|.\,}$

${\displaystyle \mu }$是移位母數，${\displaystyle \beta }$衡量對稱性。當${\displaystyle \beta }$=0時，表示分布關於${\displaystyle \mu }$對稱。${\displaystyle c}$是尺度因素，它衡量分布的寬度。${\displaystyle \alpha }$是分布指數，表示當${\displaystyle \alpha <2}$時分布的漸進行為。

當${\displaystyle \alpha <2}$ 時的漸進行為可以表示為：

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\alpha c^{\alpha }(1+\beta )\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha )/\pi }{|x|^{1+\alpha }}}}$

其中Γ是伽馬函數（除了當α<1和β=1或-1時，尾部向著左邊或者右邊消失）。這種「重尾」行為造成穩定分布的變異數在${\displaystyle \alpha <2}$ 時無限大。

特例

${\displaystyle p(x)}$的形式沒有統一的方案，但是卻存在三個特例：

• 對於${\displaystyle \alpha =2}$，分布縮減為常態分布（變異數為${\displaystyle \sigma ^{2}=2c^{2}}$，均值為${\displaystyle \mu }$），穩定分布是高狹峰的（leptokurtic）和重尾分布。
• 對於${\displaystyle \alpha =1}$和${\displaystyle \beta =0}$，分布縮減為柯西分布（尺度母數為${\displaystyle c}$，移位母數為${\displaystyle \mu }$）
• 對於${\displaystyle \alpha =1/2}$和${\displaystyle \beta =1}$，分布縮減為雷維分布（尺度母數為${\displaystyle c}$，移位母數為${\displaystyle \mu }$）

以上三個分布其實是相互關聯的。一個標準的柯西隨機變數可以被看成是高斯隨機變數（所有均值為零）和一個標準雷維分布的變異數的混合。

穩定性質

穩定分布擁有穩定性質，如果把${\displaystyle N}$個阿爾法穩定變量${\displaystyle X_{i}}$從以下分布中提出：

${\displaystyle X_{i}\sim f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )\,}$

那麼

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )\,}$

也像阿爾法穩定變量那樣分布

${\displaystyle Y\sim {\frac {1}{s}}\,\,f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0).\,}$

其中：

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{1/\alpha }.\,}$

這用特性函數的性質可以很容易證明。

廣義中央極限定理

另外一個關於穩定分布的重要的性質是它們在中央極限定理中扮演的角色。中央極限定理闡明了隨著有限變異數的隨機變數數量增長，它們的和的分布趨向常態分布。一個推廣的理論指出隨著服從以${\displaystyle 1/|x|^{\alpha +1}}$遞減的冪律尾分布（因此具有無限變異數）的隨機變數數量增長，它們的和的分布趨向穩定分布${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$ 。

級數表示法

穩定分布可以用更簡單的積分來表示：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right]}$

把第二部分用泰勒級數表示，我們有：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\right]}$

其中${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$

把積分和求和的順序對調，然後進行積分，式子變成：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {1}{i(x-\mu )}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$

（在${\displaystyle x\neq \mu }$的情況下成立）

參考

• GNU Scientific Library - Reference Manual Edition 1.12, for GSL Version 1.12, 16 December 2008
  • The Levy alpha-Stable Distributions. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-11-23）.
  • The Levy skew alpha-Stable Distribution. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-11-23）.
• B. V. Gnedenko and A. N. Kolmogorov. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley. 1954.
• Johannes Voit. The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics). Springer-Verlag. 2003. ISBN 978-3-540-00978-8.
• Some improvements in numerical evaluation of symmetric stable density and its derivatives (PDF). CIRGE Discussion paper. （原始內容 (PDF)存檔於2006-10-01）.
• John P. Nolan. Information on stable distributions. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-10-30）.
  • John P. Nolan. Stable Distributions Models for Heavy Tailed Data (PDF). January 11, 2005 [2006-11-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2011-07-17）.
  • John P. Nolan. Bibliography on stable distributions, processes and related topics (PDF). November 29, 2005 [2006-11-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2006-09-01）.
• I. Ibragimov, Yu. Linnik. Independent and Stationary Sequences of Random Variables. Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, The Netherlands. 1971.
• Peach, G. Theory of the pressure broadening and shift of spectral lines. Advances in Physics. 1981, 30 (3): 367–474 [2006-11-24]. （原始內容存檔於2013-01-14）.
• V.M. Zolotarev. One-dimensional Stable Distributions. American Mathematical Society. 1986.