定態

在量子力學裏，定態（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為

{\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0

；

其中， $\Psi (x,\,t)$ 是定態的波函數， $x$ 是位置， $t$ 是時間。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi

；

其中， $\hbar$ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $V(x)$ 是位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

\Psi (x,\,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }

；

其中， $\psi (x)$ 是 $\Psi (x,\,t)$ 的不含時間部分， $E$ 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi +V\psi =E\psi

。

這是一個不含時薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 $E$ 與伴隨的本徵函數 $\psi _{E}(x)$ 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 $E$ ，波函數 $\psi (x)$ 是定態薛丁格方程式的本徵函數 $\psi _{E}(x)$ 。

雖然定態 $\Psi (x,\,t)$ 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

|\Psi (x,\,t)|^{2}=|\psi (x)|^{2}

。

所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如，位置的期望值 $\langle x\rangle$ 是

{\begin{aligned}\langle x\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\Psi (x,\,t)|^{2}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\psi (x)|^{2}\,dx\\\end{aligned}}

。

再舉一例，動量的期望值 $\langle p\rangle$ 是

{\begin{aligned}\langle p\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,\,t)\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{iEt/\hbar }{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi (x)e^{-iEt/\hbar })\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\,\psi ^{*}(x){\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\,dx\\\end{aligned}}

。

所以， $\langle x\rangle$ 和 $\langle p\rangle$ 都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 $f(x,\,p)$ ，期望值 $\langle f(x,\,p)\rangle$ 必然與時間無關。

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.

機率密度與時間無關