矩陣的平方根

在數學中，矩陣的平方根是算術中的平方根概念的推廣。對一個矩陣A，如果矩陣B滿足

${\displaystyle B\cdot B=A}$

那麼矩陣B就是A的一個平方根。

計算

與算術中的平方根概念不同，矩陣的平方根不一定只有兩個。然而依照矩陣平方根的概念以及矩陣乘法的定義，只有方塊矩陣才有平方根。^[1]

對角化算法

如果矩陣的係數域是代數閉域，比如說複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$的時候，對於一個對角矩陣，其平方根是很容易求得的。只需要將對角線上的每一個元素都換成它的平方根就可以了。這種思路可以推廣到一般的可對角化矩陣。一個所謂的可對角化矩陣A是指可以通過相似變換成為對角矩陣D的矩陣：

${\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}$

其中的矩陣P是可逆的矩陣。在這種情況之下，假設矩陣D的形式是：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}$

那麼矩陣A的平方根就是：

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}$

其中的${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$是：

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}$^[2]

丹曼-畢福斯迭代算法

另一種計算矩陣平方根的方法是丹曼-畢福斯迭代算法。在計算一個${\displaystyle n\times n}$矩陣A的平方根時，先設矩陣${\displaystyle Y_{0}=A}$，${\displaystyle Z_{0}=I_{n}}$（${\displaystyle I_{n}}$是${\displaystyle n\times n}$的單位矩陣）。然後用以下的迭代公式計算矩陣序列${\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$和${\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$：

${\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}$

這樣的兩個序列將會收斂到兩個矩陣${\displaystyle Y}$和${\displaystyle Z}$上。其中${\displaystyle Y}$將會是矩陣的平方根，而${\displaystyle Z}$將是${\displaystyle Y}$的逆矩陣。

參見

• 平方根分解
• 置換矩陣
• 正定矩陣

參考來源

1. （中文）張賢達. 矩阵分析与应用. 清華大學出版社. 2008. ISBN 7302092710.，第152頁
2. （英文）Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis, 2nd Edition. Wiley-Interscience. 2002. ISBN 978-0-471-41889-4.，第36頁

• Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015, （原始內容 (PDF)存檔於2011-08-09）
• Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5