曲率形式

微分幾何中，曲率形式（curvature form）描述了主叢上的聯絡的曲率。它可以看作是黎曼幾何中的曲率張量的替代或是推廣。

定義

令 G 為一個李群，記 G 的李代數為 ${\displaystyle g}$。設 ${\displaystyle E\to B}$ 為一個主 G-叢。令 ${\displaystyle \omega }$ 表示 E 上一個埃雷斯曼聯絡（它是一個E上的 g-值 1-形式）。

那麼曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定義為

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .}$

這裡 ${\displaystyle d}$ 表示標準外導數，${\displaystyle [*,*]}$ 是李括號，而 D 表示外共變導數。或者說

${\displaystyle \Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}$

向量叢上的曲率形式

若 ${\displaystyle E\to B}$ 是一個纖維叢，其結構群為 G，我們可以在相伴的主 G-叢上重複同樣的定義。

若 ${\displaystyle E\to B}$ 是一個向量叢則我們可以把 ${\displaystyle \omega }$ 看作是 1-形式的矩陣，則上面的公式取如下形式：

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

其中 ${\displaystyle \wedge }$ 是楔積。更準確地講，若 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$ 和 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$ 分別代表 ${\displaystyle \omega }$ 和 ${\displaystyle \Omega }$ 的分量（所以每個 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$ 是一個通常的 1-形式而每個 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$ 是一個普通的2-形式），則

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

例如，黎曼流形的切叢，我們有 ${\displaystyle O(n)}$ 作為結構群而 ${\displaystyle \Omega _{}^{}}$ 是在 ${\displaystyle o(n)}$ 中取值的 2-形式（給定標準正交基，可以視為反對稱矩陣）。在這種情況，${\displaystyle \Omega _{}^{}}$ 是曲率張量的一種替換表述，也就是在曲率張量的標準表示中，我們有

${\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}$

上式使用了黎曼曲率張量標準記號。

比安基恆等式

如果 ${\displaystyle \theta }$ 是標架叢上的典範向量值 1-形式，聯絡形式 ω 的撓率 ${\displaystyle \Theta }$ 是由結構方程定義的向量值 2-形式：

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

這裡 D 代表外共變導數。

第一比安基恆等式（對於標架叢的有撓率聯絡）取以下形式

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta ={1 \over 2}[\Omega ,\theta ]\ ,}$

第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立，並有如下形式

${\displaystyle D\Omega =0\ .}$

參看

• 聯絡 (主叢)
• 陳-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
• 黎曼流形的曲率
• 規範場論

參考

• S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.