概念文字

《概念文字》（德語：Begriffsschrift）是1879年出版的戈特洛布·弗雷格寫的一本關於邏輯學的書。書的完整標題把它標識為《模仿算術的純思維的形式語言》。這本小書無可爭議是亞里斯多德之後在邏輯學領域最重要的出版物。弗雷格開發他的形式邏輯系統的動機是類似於萊布尼茲對「演算推論器」的渴望。

最初1879年版的標題頁。

弗雷格定義了邏輯演算來支持他在數學基礎上的研究。「概念文字」是書和其中定義的演算二者的名字。

記號和系統

演算介入了量詞，因而本質上是經典的謂詞邏輯，儘管使用了一種特異的二維記號（notation）：連結詞和量詞使用連接公式的線條來書寫，而不是今天使用的符號（symbol）¬、∧、∀。例如，在判斷B和A之間的蘊涵，也就是${\displaystyle B\rightarrow A}$用來指定。

在他的著作的第一章中，弗雷格確定了基本概念和標號（sign），象命題（"斷定／判斷"），和全稱量詞（"普遍性"），蘊涵（"條件性"），否定和等號${\displaystyle \equiv }$；在第二章中他聲明了九個形式化的命題作為公理（它們是在語義上證明了的形式化陳述）。

基本概念	Frege記號	現代記號
斷定	${\displaystyle \vdash A,\Vdash A\,}$	${\displaystyle p(A)=1\,}$ ${\displaystyle p(A)=i\,}$
否定		${\displaystyle \neg A,\sim A\,}$
條件（蘊涵）		${\displaystyle B\Rightarrow A}$ ${\displaystyle B\subset A\,}$
全稱量化		${\displaystyle \forall x\colon \Phi (x)}$
存在量化		${\displaystyle \exists x\colon \Phi (x)}$
內容同一（等號）	${\displaystyle A\equiv B\,}$	${\displaystyle A=B\,}$

他給出了條件的定義（第1章。§5.）:

"設A和B指稱可斷定的內容，則有四種潛在的可能性：

(1)	A被肯定了（assert）, B被肯定了；
(2)	A被肯定了，B被否定了；
(3)	A被否定了，B被肯定了；
(4)	A被否定了，B被否定了。

設標示（sign）第三種可能性是不能得到的，而只能是其他三種中的一個。所以如果我們否定就意味著第三種可能性是有效的，就是說我們否定了A並肯定了B。"

弗雷格著作中的演算

弗雷格聲明了九個重言式斷定作為公理。他以語義方式證明了它們，並以語法上的演繹證明了其他重言式斷定。

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)}$

弗雷格在第二章中歷數了被形式化的命題；成為了他的公理的是第1^st, 2^nd, 8^th, 28^th, 31^st, 41^st, 52^nd, 54^th, 58^th個命題。

他在這章中還聲明了兩個推理規則：它們是肯定前件；和代換律。在第一章中他宣布了一個約定，即「普遍化律」。這意味著如果「自由變量」能在一個斷定中找到，則把它當作全稱量化的，依據弗雷格的定律，在${\displaystyle \vdash }$標號（「斷定符號」）之後的，被固定的（fixed）變量是斷定，而不是「開放」的公式，也就是謂詞。

弗雷格在第二和第三章中在語法上證明了一百多個形式陳述。第三章（"Parts from a general series theory"）是對他在建造算術上做的工作的介紹。

對其他著作的影響

它的記號的某些痕跡倖存了：被邏輯學家非正式的叫做「十字轉門」（turnstile）的符號${\displaystyle \vdash }$演化自弗雷格的「Inhaltsstrich」─和「Urteilsstrich」│。弗雷格在《概念文字》中以合一的形式├─使用這些符號來聲明一個命題是（重言式）真的，而不是簡單的宣布它。他使用「Definitionsdoppelstrich」│├─作為表示一個命題是一個定義的符號。

在邏輯哲學論中，維根斯坦通過使用術語「概念文字」作為邏輯形式主義的同義詞來表達對弗雷格的敬意。

在弗雷格後來的著作《論涵義與指稱（英語：On sense and reference）》中，它放棄了在本書中關於同一性達成的某些結論（用數學上的 = 號來標記）。

一段引文

"如果哲學的任務是打破言辭在表達人類思想上的統治[...]，那麼我的概念記號，就是為這個目的而開發的，它能夠成為哲學家的有用的工具[...]我認為，只是通過發明這些概念記號，邏輯的本質（matter）就已經被促進了（forward）。"

Begriffsschrift [前言]

引用

• Gottlob Frege。Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
• Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.

參見

• 弗雷格命題演算

外部連結

• "Frege的邏輯學"於Stanford哲學百科全書 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）