無處稠密集

定義

拓撲空間(X,τ)，A⊆X，稱A是無處稠密的（亦稱稀疏的，或稱A為無處稠密集、稀疏集），若且唯若A的閉包的內部是空集。

例子

例如，整數在實數軸R上就形成了一個無處稠密集。

注意運算的次序是很重要的。例如，有理數的集合，由於是R的子集，因此它的內部的閉包（注意不是「閉包的內部」）是空集，但不是無處稠密集；實際上，它在R上是稠密的，正好相反。

無處稠密與周圍的空間也有關：有可能把一個集合考慮為X的子空間時就是無處稠密的，但考慮為Y的子空間時，就不是無處稠密的。顯然，一個集合在它本身中總是稠密的。

開集和閉集

一個無處稠密集不一定是閉集（例如，集合${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\dots \}}$在實數集上是無處稠密集），但一定是包含在一個無處稠密的閉集（即它的閉包）內。確實，一個集合是無處稠密集，若且唯若它的閉包是無處稠密集。

無處稠密的閉集的補集是一個稠密的開集，因此無處稠密集的補集是內部為稠密的集合。

測度為正數的無處稠密集

一個無處稠密集並不一定就是可忽略的。例如，如果X位於單位區間[0,1]，不僅有可能有勒貝格測度為零的稠密集（例如有理數集），也有可能有測度為正數的無處稠密集。

例如（一個康托爾集的變體），從[0,1]內移除所有形為a/2ⁿ的最簡二進分數，以及旁邊的區間[a/2ⁿ − 1/2²ⁿ⁺¹, a/2ⁿ + 1/2²ⁿ⁺¹]；由於對於每一個n，這最多移除了總和為1/2ⁿ⁺¹的區間，留下的無處稠密集的測度就至少是1/2（實際上剛剛大於0.535……，因為重疊的原因），因此在某種意義上表示了[0,1]的大多數空間。

把這個方法進行推廣，我們可以在單位區間內構造出任意測度小於1的無處稠密集。

參見

• 貝爾空間
• 史密斯-沃爾泰拉-康托爾集

外部連結

• 一些測度為正數的無處稠密集