內部

內部（英語：interior，又稱開核，英語：open kernel），是點集拓樸中的術語。拓撲空間內子集合 S 的「內部」定義為：所有 S 的開子集的併集。^[1]直觀上可以想成「不在 S 的邊界上」的S 的點組成。S 的內部中的點稱為 S 的內點（英語：interior point）。

點 x 是 S 的內部點，因為它包含在 S 內並有一個開球圍繞著它。點 y 在 S 的邊界上。

另一個等價地定義為，S 的內部是 S 補集的閉包的補集。內部的概念在很多情況下和閉包的概念對偶。

一個集合的外部（exterior）是它補集的內部，等同於它閉包的補集；它包含既不在集合內，也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊（或者更少，因為這三者有可能是空集）。內部和外部總是開的，而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集（boundary set）。

定義

內點

令 S 為歐幾里得空間的子集。若存在以 x 為中心的開球被包含於 S，則 x 是 S 的內點。

這個定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的內點，若對任意不屬於S或在S邊界上的y，都有d(x, y) >0。

這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代「開球」。 設 S 是拓撲空間 X 的子集，則 x 是 S 的內點，若存在 x 鄰域被包含於 S。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。

集合的內部

集合 ${\displaystyle S}$ 的內部是 ${\displaystyle S}$ 的所有內點組成的集合。${\displaystyle S}$ 的內部一般記作 ${\displaystyle Int(S)}$ 或 ${\displaystyle S^{\circ }}$。集合的內部滿足下列性質：

• ${\displaystyle Int(S)}$ 是 ${\displaystyle S}$ 的開子集。
• ${\displaystyle Int(S)}$ 是所有包含於 ${\displaystyle S}$ 的開集的併集，${\displaystyle Int(S)=\bigcup \{U\subset S|U}$ 為開集 ${\displaystyle \}}$。
• ${\displaystyle Int(S)}$ 是包含於 ${\displaystyle S}$ 的最大的開集。
• 集合 ${\displaystyle S}$ 是開集若且唯若 ${\displaystyle S=Int(S)}$。
• ${\displaystyle Int(Int(S))=Int(S)}$（冪等）。
• 若 ${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle T}$ 的子集，則 ${\displaystyle Int(S)}$ 為 ${\displaystyle Int(T)}$ 的子集。
• 若 ${\displaystyle A}$ 為開集，則 ${\displaystyle A\subset S}$若且唯若 ${\displaystyle A\subset Int(S)}$。

上述第二或第三條性質都可獨立地作為拓撲內部的定義。

內部公理

設集合${\displaystyle X}$及其冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$，映射${\displaystyle i:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$稱為內部算子，若且唯若其滿足以下內部公理：

• i1：${\displaystyle \forall A\subseteq X,i(A)\subseteq A}$；
• i2：${\displaystyle \forall A\subseteq X,i(A)=i(i(A))}$；
• i3：${\displaystyle \forall A,B\subseteq X,i(A\cap B)=i(A)\cap i(B)}$；
• i4：${\displaystyle i(X)=X}$；

其中對於${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$，${\displaystyle i(A)}$稱為${\displaystyle A}$的內部，${\displaystyle i(A)}$中的點稱為${\displaystyle A}$的內點。

從內部算子出發可以定義拓撲，這和從開集，閉集，閉包，鄰域，導集，基等概念出發定義拓撲的方式是等價的。

開集

${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$稱為開集，若且唯若${\displaystyle i(A)=A}$；

閉集

${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$稱為閉集，若且唯若${\displaystyle i(X-A)=X-A}$；

閉包算子，閉包，觸點

對應內部算子${\displaystyle i}$的閉包算子${\displaystyle c:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$的定義為${\displaystyle c(A)=X-i(X-A),\forall A\subseteq X}$。其中${\displaystyle c(A)}$稱為${\displaystyle A}$的閉包，${\displaystyle c(A)}$中的點稱為${\displaystyle A}$的觸點。閉包算子是內部算子的對偶概念，閉包是內部的對偶概念，觸點是內點的對偶概念。

鄰域

對於${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$，${\displaystyle A}$被稱作${\displaystyle B}$的鄰域，若且唯若${\displaystyle B\subseteq i(A)}$。

邊界，邊界點

對應內部算子${\displaystyle i}$的邊界算子${\displaystyle \partial :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$的定義為${\displaystyle \partial (A)=c(A)-i(A),\forall A\subseteq X}$。其中${\displaystyle \partial A}$稱為${\displaystyle A}$的邊界，${\displaystyle \partial A}$中的點稱為${\displaystyle A}$的邊界點。

常用結論和性質

除了上述定義提到的，以下是一些常用的其它結論。

• ∀A，B⊆X，A⊆B ⇒ i(A)⊆i(B)。
• ∀A，B⊆X，i(A∪B)⊇i(A)∪i(B)。
• ∀A，B⊆X，A是開集 ⇒ ( A⊆B ⇔ A⊆i(B) )。（i(B)是包含於B的最大開集。)
• ∀B⊆X，i(B) = ∪{A：A是開集，A⊆B}；（i(B)是B中所有開集之並。）

舉例

• 在任意空間，空集的內部是空集。
• 對任意空間 X, int(X) = X.
• 若 X 為實數的歐幾里得空間 R，則 int([0, 1]) = (0, 1)。
• 若 X 為實數的歐幾里得空間 R，則有理數集合 Q 的內部是空集。
• 若 X 為複平面 C = R²，則 int({z 屬於 C : |z| ≥ 1}) = {z in C : |z| > 1}。
• 在任意歐幾里得空間，任意有限集合的內部是空集。

在實數集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。

• 若 X = R，且 R 有下限拓撲，則 int([0, 1]) = [0, 1)。
• 若考慮 R 中所有集合都是開集的拓撲，則 int([0, 1]) = (0, 1)。
• 若考慮 R 中只有空集和 R 自身是開集的拓撲，則 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的內部取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

• 在任意離散空間中，由於所有集合都是開集，所以所有集合都等於其內部。
• 在任意不可分空間 X 中，由於只有空集和 X 自身是開集，所以 int(X) = X 且對 X 的所有真子集 A，int(A) 是空集。

內部算子

內部算子 ^o 是閉包算子 ⁻ 的對偶，在如下意義上

S^o = X \ (X \ S)⁻,

還有

S⁻ = X \ (X \ S)^o

這裡的 X 是包含S 的拓撲空間，反斜槓指示補集。

因此，通過把集合替代為它的補集，閉包算子和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論可以輕易的轉換到使用內部算子的語言中。

參見

• 內部代數
• 外部

外部連結

• Interior. PlanetMath.

參考文獻

1. James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 95. ISBN 9780134689517 （英語）.