庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓撲結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定義

拓樸空間 ${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$ 是集合 ${\displaystyle X}$ 及作用在 ${\displaystyle X}$ 的冪集上的閉包算子

${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$。

閉包算子需符合以下條件：

1. ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)\!}$ (等冪性)
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!}$

如果不要求第二個公理即冪等公理，則剩下的公理定義了預閉包算子。

等價的證明

從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$ 是閉合的，若${\displaystyle A=\operatorname {cl} (A)}$。亦即，X 的閉集是閉包算子的不動點。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個拓撲，證明如下：

1. 由公理4.可知${\displaystyle \varnothing \!}$為閉集；由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此，X 及${\displaystyle \varnothing \!}$（分別為${\displaystyle \varnothing \!}$及X 的補集）為開集。
2. 令X 的子集${\displaystyle {A_{i}},i\in \Lambda \!}$（其中${\displaystyle \Lambda }$為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知${\displaystyle \bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}}$為開集。
3. 令X 的子集A 及B 為開集，由公理3.可知${\displaystyle A\cap B}$為開集。

相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數

${\displaystyle f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')}$

稱為連續的，若對所有X 的子集A'，

${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))}$

一個點稱之為在${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$內是接近A 的，若${\displaystyle p\in \operatorname {cl} (A)}$。