拋物線軌道

此條目介紹的是一類克卜勒軌道。關於常引力下自由物體的軌跡，請見「平拋運動」。

在天體動力學或天體力學中，拋物線軌道（英語：parabolic trajectory）是離心率等於1的克卜勒軌道，並且是一個無界軌道，正好介於橢圓和雙曲線之間。從一處離開時，它稱為逃逸軌道，否則稱為捕獲軌道。有時也稱為C₃ = 0 軌道。

此圖像中的綠色軌跡是拋物線軌跡的示例。

在該圖的左下圖描繪了拋物線軌跡，其中中心質點的勢阱顯示了勢能，而拋物線軌跡的動能為紅色。根據克卜勒定律，隨著速度的降低和距離的增加，動能逐漸趨於零。

在標準假設下，沿著逃逸軌道運行的物體將沿著拋物線軌跡滑行至無窮遠，相對於中心物體的速度趨於零，因此將永遠不會返回。拋物線軌跡是能量最小的逃逸軌跡，將正能量的雙曲線軌道與負能量的橢圓軌道分開。

速度

沿拋物線軌道運行的物體的軌道速度（ ${\displaystyle v}$ ) 可以表示為：

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

其中：

• ${\displaystyle r}$是軌道天體到中心天體的徑向距離，
• ${\displaystyle \mu }$是標準重力參數。

在任何位置，軌道天體都具有該位置的逃逸速度。

如果一個物體獲得一個相對於地球的逃逸速度，由於其不足以逃逸太陽系，其在地球附近的軌道類似於拋物線，但在更遠的地方它會變入圍繞太陽的橢圓軌道。

這個速度（ ${\displaystyle v}$ ) 與物體在半徑等於拋物線軌道的徑向距離的圓形軌道的軌道速度相關：

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

其中：

• ${\displaystyle v_{o}}$是物體在圓形軌道上的軌道速度。

軌跡方程

對於沿著這種軌道運動的物體，軌跡方程變為：

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

其中：

• ${\displaystyle r\,}$是軌道天體到中心天體的徑向距離，
• ${\displaystyle h\,}$是軌道天體的比角動量，
• ${\displaystyle \nu \,}$是軌道天體的真近點角，
• ${\displaystyle \mu \,}$是標準重力參數。

能量

在標準假設下，拋物線軌道的比軌道能量（ ${\displaystyle \epsilon }$ ) 為零，因此該軌道的軌道能量守恆方程為以下形式：

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

其中：

• ${\displaystyle v\,}$是軌道天體的軌道速度，
• ${\displaystyle r\,}$是軌道天體到中心天體的徑向距離，
• ${\displaystyle \mu \,}$是標準重力參數。

這完全等同於特徵能量（無窮遠處速度的平方）為 0：

${\displaystyle C_{3}=0}$

巴克方程

巴克方程闡述了在拋物線軌道中真近點角與運動時間之間的關係^[1]

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

其中：

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$，${\displaystyle \nu }$是軌道的真近點角
• ${\displaystyle t}$是秒單位下的運動時間
• ${\displaystyle T}$是近點通過的時間，以秒為單位
• ${\displaystyle \mu }$是標準重力參數
• ${\displaystyle p}$是軌道的半通徑(${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$)

更一般的，在軌道上任意兩個點所對應的時間的差值為

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

同樣的，這條方程也可以使用近點距離表示，在一個有 r_p = p/2的軌道中：

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

與克卜勒方程不同——同樣也用於求解在橢圓和雙曲軌跡中的真近點角，巴克方程中可以直接解出真近點角與時間的關係。如果我們做如下代換^[2]

${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

${\displaystyle B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}}$

則有：

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

參見

• 克卜勒軌道
• 拋物線
• 近地軌道
• 中地球軌道
• 高地球軌道
• 橢圓軌道

參考資料

1. Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. 1971: p 188. ISBN 0-486-60061-0. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Montenbruck, Oliver; Pfleger, Thomas. Astronomy on the Personal Computer. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009: p 64. ISBN 978-3-540-67221-0. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)