拉馬努金Θ函數

拉馬努金theta函數是一個由英國數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金定義的雙變量復變theta函數，推廣了雅可比theta函數，被廣泛地運用在q-函數和級數的理論中。

定義

拉馬努金theta函數被定義為

${\displaystyle f(a,b)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|<1}$而其中${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$

對於所有的${\displaystyle \forall a=-1}$，拉馬努金theta函數取到簡單零點。 拉馬努金theta函數也可以用q-珀赫哈默爾符號定義，如

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }(-b;ab)_{\infty }(ab;ab)_{\infty }}$

這說明與其他theta函數類似，拉馬努金theta函數也與q-模擬存在緊密聯繫。它有一個積分表示， ${\displaystyle f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2a\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2b\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt}$

與其他函數的聯繫

單變量的拉馬努金theta函數被定義成

${\displaystyle f(-q)\equiv f(-q,-q^{2})=(q,q)_{\infty };/|q|<1}$

此外，拉馬努金phi函數，拉馬努金psi函數和拉馬努金chi函數也是拉馬努金theta函數的特殊單變量情形。它們之間的關係可以被解釋為：

${\displaystyle \varphi (q)\equiv f(q,q)={\frac {(-q,-q)_{\infty }}{(+q,-q)_{\infty }}}}$

而它就是第三雅可比theta函數的特例${\displaystyle \varphi (q)=\vartheta _{3}(q)}$，它的級數表達是OEIS中的數列A000122 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

${\displaystyle \psi (q)\equiv f(q,q^{3})={\frac {(q^{2},q^{2})_{\infty }}{(q,q^{2})_{\infty }}}}$

它的級數表達是OEIS中的數列A010054 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

${\displaystyle \chi (q)\equiv f(-q,q^{2})}$

它的級數表達是OEIS中的數列A000700 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

應用

拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論、超弦理論和M理論中的臨界維數（英語：Critical dimension）。

參考資料

• 埃里克·韋斯坦因. Ramanujan Theta Functions. MathWorld.