希爾伯特公理

希爾伯特公理（Hilbert's Axioms）是歐幾里得幾何的現代化基石，由大衛·希爾伯特於1899年在其著作 Grundlagen der Geometrie（中譯：《幾何基礎》）中提出。

除本套公理以外，亦有其他對歐幾里得幾何的公理化嘗試，如塔斯基公理​（英語）以及伯克霍夫公理​（英語）。

公理內容

希爾伯特的公理系統由六種基本符號組成。其中，有三種基本對象：點、直線（簡稱「線」）、平面（簡稱「面」）；以及三種基本關係：

• 夾（betweenness）：一種聯繫點的三元關係；
• 落（lies on）/含（containment）：一組三種二元關係，分別聯繫點與直線、點與平面，以及平面與直線；
• 同（congruence）：一組兩種二元關係，分別聯繫兩條線段或兩個角，均以中綴符號 ≅ 表示。

上面提到的線段、角，以及更多諸如三角形之類的概念，均可在點線面的基本對象上，運用夾與含這兩種基本關係加以定義。下面所列出的公理中，除非特別聲明，所有提及的對象都是互異的。

一、所在

1. 給定任意兩點 A、B，存在一條直線 a 同時包含其二者。這記作 AB=a 或 BA=a。 除了「a 包含 A 與 B」，也可以用其他方式表述，例如：「A 是 a 上的點」「a 穿過了 A 與 B」「a 連接了 A 與 B」。 若點 A 同時落於兩條直線 a 與 b 上，也可以說「直線 a 與 b 有公共點 A」。
2. 給定任意兩點 A、B，最多只存在一條直線同時包含其二者。這也是說，若對於相異兩點 B、C，同時有 AB=a 與 AC=a，那麼有 BC=a。
3. 一條直線上至少存在兩個點；又，至少存在不共線的三個點。
4. 對於任意不共線三點 A、B、C，存在一同時包含其三者的平面 α。這記作 ABC=α。 亦可說是「A、B、C 落於 α 上」「A、B、C 是 α 上的點」。
5. 對於任意不共線三點 A、B、C，最多只存在一個平面同時包含其三者。
6. 若在直線 a 上的兩點 A、B 同時落於平面 α 上，那麼 a 上的任意點均落於 α 上。又說「直線 a 落於平面 α 上」。
7. 若平面 α、β 均包含點 A，那麼它們至少共同包含另一點 B。
8. 至少存在不共面的四個點。

二、順序

1. 對於互異三點 A、B、C，若 B 夾在 A、C 間，則 B 亦夾在 C、A 間，且存在一條直線同時包含 A、B、C。
2. 對於互異兩點 A、C，至少存在一點 B 落於直線 AC 上，使得 C 夾在 A、B 之間。
3. 直線上的任意三點最多只能有一個夾在其餘兩者之間。
4. 給定三點 A、B、C 與平面 ABC 上不穿過三點中任意一個的直線 α，若 α 穿過線段 AB，則其必然同時穿過線段 AC 或 BC 其中之一。（Pasch 公理​（英語））

三、等同

1. 若點 A、B 在直線 a 上且點 A' 在直線 a' 上（可與 a 相同），總可以在 a' 上關於 A' 的任意一側找到點 B'，使得線段 AB 與 A'B' 等同。這記作 AB ≅ A'B'。 每條線段均與其自身等同，也就是說 AB ≅ AB。（自反性） 此公理就是在說，給定任意線段，可以將其「擺」在任意直線上的任意點的任意一側。
2. 若線段 AB 同時與線段 A'B'、A''B'' 等同，那麼 A'B' 亦等同於 A''B''。（傳遞性）
3. 令 AB、BC 為同一直線上僅共點於 B 的兩條線段，以及 A'B'、B'C' 為另一直線（可與前同）上僅共點於 B' 的兩條線段；若 AB ≅ A'B' 且 BC ≅ B'C'ou，則 AC ≅ A'C'。
4. 令 ∠(h,k) 為一角。給定一端點 O' 的射線 h' 以及其一側的半平面 α'，α' 上存在且僅存在一條射線 k' 使得 ∠(h,k) 或 ∠(k,h) 與 ∠(h',k') 等同。這記作 ∠(h,k) ≅ ∠(h',k')。
5. 若角 ∠(h,k) 等同於角 ∠(h',k')，且 ∠(h',k') 等同於角 ∠(h'',k'')，那麼 ∠(h,k) 等同於 ∠(h'',k'')。（傳遞性）
6. 若在三角形 ABC 與 A'B'C' 中有 AB ≅ A'B'、AC ≅ A'C'、∠BAC ≅ ∠B'A'C'，那麼可以得到 ∠ABC ≅ ∠A'B'C'（替換字母即可知 ∠ACB ≅ ∠A'C'B' 亦成立）。

四、平行

1. 對於直線 a 與其外一點 A，其二者所確定的平面內至多有一條直線經過 A 而不與 a 相交。（歐幾里得公理）

五、連續

1. 令 AB、CD 為任意兩條線段，總存在一數 n，使得從 A 出發沿射線 AB 連續構造的 n 條與 CD 等同的線段會經過 B。（阿基米德公理）
2. 欲從既有直線上的點構造新的直線，使得其仍然滿足原先元素之間的關係且符合公理一到三以及四-1，這樣的嘗試是不可能的。（直線完備性公理）

參考文獻