公理列表克里普克–普拉特克公理集合论（英语：Kripke-Platek axioms） 平行公设 (普莱费尔公理) 伯克霍夫公理（英语：Birkhoff's axioms） 希尔伯特公理 塔斯基公理（英语：Tarski's axioms） 平行公设属于欧式几何，在非欧几何中分别有替代公理。 参见黎曼几何和球面几何。
停机问题用数学语言描述，则其本质问题为: 给定一个图灵机T，和一个任意语言集合S，是否T会最终停机于每一个 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 。其意义相同于可确定语言。显然任意有限 S 是可判定性的，可数的（countable）S 也是可停机的。 停机问题包含了自我指涉，本质是一阶逻辑的不完
哥德尔不完备定理，也不一定就能定义自然数。必須透過公理和一階邏輯，在系統中表達出「x是一個自然數」這個概念才行。有許多系統包含自然數，卻是完備的。例如，塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一階公理化系统。 不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。第一定理可以被
罗素悖论。问题是：如果 s ∈ S s {\displaystyle s\in S_{s}} ，这将与 S s {\displaystyle S_{s}} 的定义矛盾，但如果 s ∉ S s {\displaystyle s\not \in S_{s}} ，根据 S s {\displaystyle S_{s}} 的定义，又应该有
命题arithmetic） 實數的構造 塔尔斯基公理化（英语：Tarski's axiomatization of the reals） 布尔代数 正则定义（英语：Boolean algebras canonically defined） 最小公理（英语：Minimal axioms for Boolean algebra）