泛函分析中,得名於斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代數是實數或複數(或非阿基米德完備賦范域)上的結合代數A,同時也是巴拿赫空間,即在範數導出的度量中完備的賦范空間。範數要滿足
這確保了乘法運算連續。
若巴拿赫代數對乘法有範數為1的單位元,則稱其是含么的(unital)。若其乘法是可交換的,則稱其可交換。任意巴拿赫代數A(無論有無單位元)都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數
,從而形成
的閉理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的:因為可以先考慮
,再在原始代數中應用結果,來發展許多理論。不過並非總如此,例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函數。
實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數,例如非平凡復巴拿赫代數中元素的譜不會是空的,而實巴拿赫代數中,某些元素的譜可能是空的。
巴拿赫代數也可以定義在P進數域上。這是P進數分析的一部分。
巴拿赫代數的典型例子是
,即定義在局部緊豪斯多夫空間X上在無窮遠處消失的(復值)連續函數空間。若且唯若X是緊空間,
含么。共軛複數是對合,因此
實際上是C*-代數。更一般地說,C*-代數都是巴拿赫代數。
- 實數(或複數)集是巴拿赫代數,範數為絕對值。
- 若給所有實數或複數n階方陣集合配備服從乘法範數,就成為含么巴拿赫代數。
- 取巴拿赫空間
(或
),範數為
,並定義乘法分量形式:![{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f56d4f2f8daa08357e936cc53a234015df01be9)
- 四元數形成了4維實巴拿赫代數,範數為四元數的絕對值。
- 定義在某集合(具有逐點乘和上確範數)上的有界實值或復值函數的代數是含么巴拿赫代數。
- 某局部緊空間(具有逐點乘和上確範數)上的有界連續實值或復值函數的代數是巴拿赫代數。
- 巴拿赫空間E(以函數複合為乘法,以算子範數為範數)上的連續線性算子的代數是含么巴拿赫代數。E上所有緊算子的集合是巴拿赫代數,也是閉理想。若
,則沒有單位元。[1]
- 若G是局部緊豪斯多夫拓撲群,
是其哈爾測度,則G上所有
可積函數的巴拿赫空間
在卷積
下成為巴拿赫代數。[2]
- 一致代數:巴拿赫代數,是復代數
的子代數,具有上確範數,包含常數並分離了X的點(必須是緊豪斯多夫空間)。
- 自然巴拿赫函數代數:一致代數,其所有特徵都在X的點上取值。
- C*-代數:某希爾伯特空間上有界算子的代數的閉*-子代數,是巴拿赫代數。
- 測度代數:包含某局部緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數,測度之積由卷積給出。[2]
- 四元數代數
是實巴拿赫代數,不是復代數,因為四元數的中心是實數。
- 仿射體代數(affinoid algebra)是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數,是剛性解析幾何的基本構件。
巴拿赫*-代數A是複數域上的巴拿赫代數,以及映射
,滿足如下性質:
(於是映射是對合)
![{\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac35145c7d0b72aac487e4e5d5e6a830e351d8a7)
,其中
表示
的共軛複數
![{\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edaebec4762d5b422500aadcbc914a0732061ed6)
也就是說,巴拿赫*-代數是
上的巴拿赫代數,也是*-代數。
在大多數自然例子中,還需要對合是等距的,即
有人把這性質納入了巴拿赫*-代數的定義。
巴拿赫*-代數滿足
是C*-代數。
證明:由於交換C*-代數的元素都是正規的,所以蓋爾范德表示是等距的;特別是,其是單射,像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。
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