已知最大質數

已知最大質數（截至2024年10月 (2024-10)^[update]）為2^136,279,841 − 1，十進制時有41,024,320位數，由網際網路梅森質數大搜索（GIMPS）的志願者盧克 · 杜蘭特（Luke Durant）於2024年發現。^[1]

電子電腦發明後已知最大質數數位的按年圖表，至2016年為止。垂直刻度為對數尺度，紅線為曲線擬合：y = exp(0.187394 t − 360.527)，t為年份

質數，又名素數，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整數。歐幾里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森質數，定義為2的冪減去1的正整數。截至2024年10月 (2024-10)^[update]，首七個已知大質數皆為梅森質數^[2]。近十八次最大質數紀錄皆為梅森質數^[3][4]。所有梅森質數的二進制表示中，所有數字皆為1^[5]。

盧卡斯-萊默檢定法的快速傅立葉轉換比起其他方式能更快速尋找到梅森質數。

現時紀錄

截至2024年，已知最大質數為2^136,279,841 − 1，共有41,024,320位數，由網際網路梅森質數大搜索於2024年10月12日發現^[1]。其數值為：

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...

(省略41,024,080位)

... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

上面只顯示首尾各120位數。^[6]

獎金

網際網路梅森質數大搜索現為下載其軟體並成功尋找新梅森質數的參與者提供3,000美元獎金，該梅森質數的數位應少於一億位。

電子前哨基金會亦為大質數的找尋設立了數個獎項^[7]，網際網路梅森質數大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享電子前哨基金會所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金^[8]。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金^[7]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現^[9]兩項獎金皆為網際網路梅森質數大搜索的參加者。電子前哨基金會現為首個一億及十億數位的質數提供獎金^[7]。

已知最大質數歷史

下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列^[3]。此處M_n = 2ⁿ − 1，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M₁₉ = 524,287，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

數字	數字展開 （僅限小於M5000的數字）	數位	發現年份	發現者
M13	8,191	4	1456	佚名
M17	131,071	6	1588	伯多祿·卡塔迪
M19	524,287	6	1588	伯多祿·卡塔迪
${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	6,700,417	7	1732	萊昂哈德·歐拉 歐拉並未正式發表此數，但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數[10]
M31	2147483647	10	1772	萊昂哈德·歐拉
${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67,280,421,310,721	14	1855	湯馬斯·克勞森（英語：Thomas Clausen (mathematician)）
M127	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	愛德華·盧卡斯
${\displaystyle {\tfrac {2^{148}+1}{17}}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier 使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數
180×(M127)2+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221	79	1951	J. C. P.米勒（英語：J. C. P. Miller）與大衛·惠勒（英語：David Wheeler (computer scientist)）[11] 使用劍橋大學（英語：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC電腦
M521	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M607	531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127	183	1952
M1279	104079321946...703168729087	386	1952
M2203	147597991521...686697771007	664	1952
M2281	446087557183...418132836351	687	1952
M3217	259117086013...362909315071	969	1957
M4423	285542542228...902608580607	1,332	1961
M9689	478220278805...826225754111	2,917	1963
M9941	346088282490...883789463551	2,993	1963
M11213	281411201369...087696392191	3,376	1963
M19937	431542479738...030968041471	6,002	1971
M21701	448679166119...353511882751	6,533	1978
M23209	402874115778...523779264511	6,987	1979
M44497	854509824303...961011228671	13,395	1979	854509824303...961011228671
M86243	536927995502...709433438207	25,962	1982	536927995502...709433438207
M132049	512740276269...455730061311	39,751	1983
M216091	746093103064...103815528447	65,050	1985
391581×2216193−1	148140632376...836387377151	65,087	1989	群組發現，包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾（英語：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧[12][13]，為已知最大質數歷史中最大的非梅森質數。
M756839	174135906820...328544677887	227,832	1992
M859433	129498125604...243500142591	258,716	1994
M1257787	412245773621...976089366527	378,632	1996
M1398269	814717564412...868451315711	420,921	1996	網際網路梅森質數大搜索，喬爾·阿孟較得
M2976221	623340076248...743729201151	895,932	1997	網際網路梅森質數大搜索，戈登·斯彭斯
M3021377	127411683030...973024694271	909,526	1998	網際網路梅森質數大搜索，羅蘭·克拉克森
M6972593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999	網際網路梅森質數大搜索，拿恩·哈拉華拉
M13466917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001	網際網路梅森質數大搜索，米高·卡梅倫
M20996011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003	網際網路梅森質數大搜索，米高·沙夫
M24036583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004	網際網路梅森質數大搜索，喬許·芬德利
M25964951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005	網際網路梅森質數大搜索，馬田·諾或
M30402457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005	網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩
M32582657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006	網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩
M43112609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008	網際網路梅森質數大搜索，埃德森·史密夫
M57885161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013	網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀
M74207281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016	網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀
M77232917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017	網際網路梅森質數大搜索，強納森·佩斯
M82589933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018	網際網路梅森質數大搜索，派翠克·拉羅次
M136279841	881694327503...219486871551	41,024,320	2024	網際網路梅森質數大搜索，盧克·杜蘭特

網際網路梅森質數大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

二十大已知質數

克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數^[14][15]，其中最大二十個列於下表。

排名	數字	發現日期	數位	種類	參考資料
1	2136279841 − 1	2024-10-12	41,024,320	梅森質數	[1]
2	282589933 − 1	2018-12-07	24,862,048	梅森質數	[16]
3	277232917 − 1	2017-12-26	23,249,425	梅森質數	[17]
4	274207281 − 1	2016-01-07	22,338,618	梅森質數	[18]
5	257885161 − 1	2013-01-25	17,425,170	梅森質數	[19]
6	243112609 − 1	2008-08-23	12,978,189	梅森質數	[20]
7	242643801 − 1	2009-06-04	12,837,064	梅森質數	[21]
8	Φ3(−5166931048576) （5166932097152−5166931048576+1）	2023-10-02	11,981,518	廣義唯一質數	[22]
9	Φ3(−4658591048576) （4658592097152−4658591048576+1）	2023-05-31	11,887,192	廣義唯一質數	[23]
10	237156667 − 1	2008-09-06	11,185,272	梅森質數	[20]
11	232582657 − 1	2006-09-04	9,808,358	梅森質數	[24]
12	10223 × 231172165 + 1	2016-10-31	9,383,761	普羅斯數	[25]
13	230402457 − 1	2005-12-15	9,152,052	梅森質數	[26]
14	4 × 511786358 + 1	2024-10-01	8,238,312	廣義普洛斯數	[27]
15	225964951 − 1	2005-02-18	7,816,230	梅森質數	[28]
16	69 × 224612729 − 1	2024-08-13	7,409,102		[29]
17	224036583 − 1	2004-05-15	7,235,733	梅森質數	[30]
18	107347 × 223427517 − 1	2024-08-04	7,052,391		[31]
19	3 × 222103376 − 1	2024-09-30	6,653,780	塔別脫數	[32]
20	19637361048576 + 1	2022-09-24	6,598,776	廣義費馬數	[33]

參見

• 梅森質數
• 質數測試
• 質數
• 費馬數
• 卡倫數
• 胡道爾數
• 泰坦質數（英語：Titanic prime）
• 巨大質數（英語：Gigantic prime）
• 超大質數（英語：Megaprime）
• 索菲·熱爾曼質數

參考資料

1. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1. Mersenne Research, Inc. 21 October 2024 [21 October 2024].
2. Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. （原始內容存檔於2021-03-12）.
3. Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. （原始內容存檔於2013-08-19）.
4. 最後一個非梅森質數為391,581 ⋅ 2^216,193 − 1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）；參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Caldwell著
5. Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. （原始內容存檔於2020-08-03）. An interesting side note is about the binary representations of those numbers...
6. List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet. www.mersenne.org. "41024320" link is to a zip file with the digits. [2024-10-21].
7. Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 電子前哨基金會. 2009-10-14 [2011-11-26]. （原始內容存檔於2011-08-05）.
8. Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
9. Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime. Time (時代公司). 2008-10-29 [2012-01-17]. （原始內容存檔於2013-08-22）.
10. C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. （原始內容存檔於2020-08-04）.
11. J. Miller（英語：J. C. P. Miller）, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
12. Letters to the Editor （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
13. Proof-code: Z （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, The Prime Pages（英語：Prime Pages）.
14. The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page. primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. [2017-09-30]. （原始內容存檔於2021-02-27）.
15. The Top Twenty: Largest Known Primes. Chris K. Caldwell. [2018-01-03]. （原始內容存檔於2021-02-25）.
16. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 21 December 2018 [21 December 2018].
17. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. [2018-01-03]. （原始內容存檔於2018-01-03）.
18. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. [2017-09-29]. （原始內容存檔於2018-01-07）.
19. GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2013-02-05 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-01-26）.
20. GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2^43,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2008-09-15 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2011-06-03）.
21. GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 2^42,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2009-04-12 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-02-19）.
22. PrimePage Primes: Phi(3, - 516693^1048576). t5k.org.
23. PrimePage Primes: Phi(3, - 465859^1048576). t5k.org.
24. GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2^32,582,657-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2006-09-11 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-01-26）.
25. PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英語：PrimeGrid）. [2017-09-30]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-01-15）.
26. GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2^30,402,457-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2005-12-24 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-03-14）.
27. 4 × 5^11786358 + 1. t5k.org. PrimePages. 1 October 2024 [5 October 2024].
28. GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2^25,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2005-02-27 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-03-14）.
29. 69 × 2^24612729 − 1. t5k.org. PrimePages. 13 August 2024 [29 August 2024].
30. GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2^24,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2004-05-28 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-01-29）.
31. 107347 × 2^23427517 − 1. t5k.org. PrimePages. 4 August 2024 [25 August 2024].
32. PrimeGrid's 321 Prime Search (PDF). primegrid.com.
33. PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. [7 October 2022].

外部連結

• Press release about the largest known prime 2^82,589,933−1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Press release about the former largest known prime 2^77,232,917−1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Press release about the former largest known prime 2^74,207,281−1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）