奧斯特洛夫斯基定理

奧斯特洛夫斯基定理是一個關於有理數域絕對賦值的定理。於1916年由亞歷山大·奧斯特洛夫斯基證明。該定理說明，任何非平凡的有理數Q的絕對賦值要麼等價於通常實數域的絕對賦值，要麼等價於p進數的絕對賦值。

定義

定義兩個絕對賦值${\displaystyle |\cdot |}$ 和${\displaystyle |\cdot |_{\ast }}$ 是等價的，如果存在一個實數c>0，使得：

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {K} ,\;\;|x|_{\ast }=|x|^{c}.}$

這是比兩絕對賦值結構的拓撲同胚的更嚴格的定義。

任何域的平凡絕對賦值被定義為：

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}}$

有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$的實絕對賦值是正規實絕對賦值，定義為：

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geqslant 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$

有時下標∞被寫成下標1。

給定素數p，p進賦值的定義如下：

任何非零的有理數x可以唯一寫成${\displaystyle x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}}$。其中整數a、b和p兩兩互質。n是整數。x的p進賦值為：

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}}$

另一個奧斯特洛夫斯基定理

另一個奧斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的絕對賦值完備域（從代數結構和拓撲結構方面）同構於實數域或複數域。這有時也稱為奧斯特洛夫斯基定理。

參考

• Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields 2nd edition. American Mathematical Society. 1996, 1997. ISBN 0-8218-0429-4. 請檢查|date=中的日期值 (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Nathan Jacobson. Basic algebra II 2nd ed. W H Freeman. 1989. ISBN 0-7167-1933-9. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Alexander Ostrowski. Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica 2nd ed. 1918, 41 (1): 271–284. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/BF02422947. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)^{[永久失效連結]}