代數 (環論)

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。

本頁面中的環都是指有單位的環，並使用麼環一詞表示則是不一定有單位的環。

定義

給定一個交換環 ${\displaystyle A}$ 。

代數

給定一個四元組 ${\displaystyle (E,+,.,\times )}$ 。如果以下兩個條件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ 是一個 ${\displaystyle A}$-模。
2. ${\displaystyle \times }$是一個 ${\displaystyle E}$ 的內部運算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），並且是${\displaystyle A}$-雙線性的。也就是說內部運算${\displaystyle \times }$符合以下三點：
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z}$
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z}$
   • ${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$

那麼我們說四元組 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 是一個 ${\displaystyle A}$ 上的代數（或稱 ${\displaystyle A}$-代數），或簡稱集合 ${\displaystyle E}$ 是一個${\displaystyle A}$-代數。

結合代數、有單位的代數、交換代數

設 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 為一個 ${\displaystyle A}$-代數。

• 如果內部運算${\displaystyle \times }$符合結合律，那麼我們說 ${\displaystyle E}$ 是一個結合代數。
• 如果內部運算${\displaystyle \times }$有一個單位元素（即 ${\displaystyle \exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E}}$），那麼此單位元素是唯一的並且我們說 ${\displaystyle E}$ 是一個有單位的代數。
• 如果內部運算${\displaystyle \times }$符合交換律，那麼我們說 ${\displaystyle E}$ 是一個交換代數。

註：有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數，或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

等價定義

一樣給定一個交換環 ${\displaystyle A}$ 。

給定一個四元組 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 。 這是一個${\displaystyle A}$上的結合代數（${\displaystyle resp.}$結合且有單位的代數、${\displaystyle resp.}$結合、有單位且交換的代數）若且唯若以下三個條件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ 是一個 ${\displaystyle A}$-模。
2. ${\displaystyle (E,+,\times )}$ 是一個環（${\displaystyle resp.}$一個么環、${\displaystyle resp.}$一個交換環）。
3. ${\displaystyle \times }$是一個 ${\displaystyle E}$ 的內部運算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），並且是${\displaystyle A}$-雙線性的。

註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為：

• ${\displaystyle \times }$是一個 ${\displaystyle E}$ 的內部運算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），並符合${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數：

• 給定一個結合且有單位的 ${\displaystyle A}$-代數 ${\displaystyle E}$ 就等於給定一個二元組 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一個環，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一個滿足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的環同態。（${\displaystyle Z(E)}$ 代表環 ${\displaystyle E}$ 的中心，也就是 ${\displaystyle Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}}$）。

原因是如果 ${\displaystyle E}$ 是一個結合且有單位的${\displaystyle A}$-代數，那麼 ${\displaystyle E}$ 是一個環並且 ${\displaystyle f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E}$ 是一個環同態，滿足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$。反過來看，如果 ${\displaystyle E}$ 是一個環，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一個滿足 ${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的環同態，那麼我們可以定義外部運算${\displaystyle \cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x}$（即${\displaystyle a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x}$）。${\displaystyle E}$ 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 ${\displaystyle A}$-模並且成為一個結合且有單位的 ${\displaystyle A}$-代數。

將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法：

• 給定一個結合、有單位且交換的 ${\displaystyle A}$-代數 ${\displaystyle E}$ 就等於給定一個二元組 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一個交換環，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一個的環同態。

代數同態

設 ${\displaystyle E,F}$ 是 ${\displaystyle A}$-代數，${\displaystyle A}$-模間的同態 ${\displaystyle \phi :E\rightarrow F}$ 被稱作 ${\displaystyle A}$-代數間的同態，若且唯若它滿足 ${\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$。因此所有 ${\displaystyle A}$-代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

結構常數

設 ${\displaystyle E}$ 是 ${\displaystyle A}$-代數。當 ${\displaystyle E}$ 是個自由的有限秩 ${\displaystyle A}$-模（當 ${\displaystyle A}$ 為域且${\displaystyle \dim _{A}E<\infty }$ 時自動成立）時，可選定一組基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$，並將乘法寫作

${\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad }$ （採用愛因斯坦記號）

此時常數 ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in A}$ 稱作 ${\displaystyle E}$ 對基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ 的結構常數。

例子

• 對於${\displaystyle n\geq 2}$，矩陣環 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代數。
• 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 ${\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2}$，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
• 歐氏空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代數。這是一個李代數的例子。
• 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 是一個非交換但結合且有單位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代數。
• 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 是一個非交換、非結合但有單位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代數。
• 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。

參見

• 結合代數
• 代數同態
• 李代數

文獻

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6