在數學中,雙曲正弦是一種雙曲函數,是雙曲幾何中,與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物,然而雙曲正弦不具備週期性,且在定義域為實數的情況下,其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半,或該角與圓之交點的y座標;而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半,或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示[1],在部分較舊的文獻中有時會以表示。[2]

雙曲正弦
性質
奇偶性
定義域 (-∞,∞)
到達域 (-∞,∞)
特定值
當x=0 0
當x=+∞ +∞
當x=-∞ -∞
最大值 +∞
最小值 -∞
其他性質
漸近線 N/A
0
臨界點 N/A
拐點 0

定義

雙曲正弦一般計為[3](有時會簡寫為[4]),其在複變分析中定義為:[5]

其中複變指數函數日語複素指数函数

Thumb
複數域雙曲正弦的色相環複變函數圖形

也就是說,雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半[6]。雙曲正弦也可以視為自然指數函數奇函數部分英語Even–odd decomposition#Even–odd decomposition[7]

在雙曲幾何中,雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。[8]

性質

一般性質

  • 雙曲正弦在實數中是一個連續函數,在複數中是一個全純函數,因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微,其導函數為雙曲餘弦函數。[9]
  • 雙曲正弦是一個奇函數。[10]
  • 在實數域中,雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間上是凹函數、在區間上是凸函數[9]

三角學性質

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義,可以推得:[8][11]

其與經典的歐拉公式類似。

時,有以下恆等式:[8][12]

[8]

特殊值

雙曲正弦存在一些特殊值[5]

其中為黃金比例

參見

參考文獻

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