在機率論和統計學中,一個實數值隨機變數的動差母函數(moment-generating function)又稱動差生成函數,動差亦被稱作矩,動差生成函數是其機率分布的一種替代規範。 因此,與直接使用機率密度函數或累積分布函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變數的加權和定義的分布的動差生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變數都具有動差生成函數。 顧名思義,動差生成函數可用於計算分布的動差:關於 0 的第 n {\displaystyle n} 個動差是動差生成函數的第 n {\displaystyle n} 階導數,在 0 處求值。 除了實值分布(單變量分布),動差生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變數,甚至可以擴展到更一般的情況。 與特徵函數不同,一個實數值分布的動差生成函數並不總是存在。 分布的動差生成函數的行為與分布的性質之間存在關係,例如動差的存在。 隨機變數 X {\displaystyle X} 的動差母函數定義為: M X ( t ) = E ( e t X ) , t ∈ R {\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} } 前提是這個期望值存在。 如果 X {\displaystyle X} 具有連續機率密度函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ,則它的動差母函數由下式給出: M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x} = ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ ) f ( x ) d x {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x} = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots } 其中 m i {\displaystyle m_{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個動差。 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的雙邊拉普拉斯轉換。 不管機率分布是不是連續,動差母函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出: M X ( t ) = ∫ 0 1 e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)} 其中 F {\displaystyle F} 是累積分布函數。 如果 X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} 是一系列獨立的隨機變數,且 S n = ∑ i = 1 n a i X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}} 其中 a i {\displaystyle a_{i}} 是常數,則 S n {\displaystyle S_{n}} 的機率密度函數是每一個 X i {\displaystyle X_{i}} 的機率密度函數的摺積,而 S n {\displaystyle S_{n}} 的動差母函數則為: M S n ( t ) = M X 1 ( a 1 t ) M X 2 ( a 2 t ) ⋯ M X n ( a n t ) {\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)} 。 對於分量為實數的向量值隨機變數X,動差母函數為: M X ( t ) = E ( e ⟨ t , X ⟩ ) {\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)} 其中 t {\displaystyle \mathbf {t} } 是一個向量, ⟨ t , X ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle } 是數量積。 只要動差母函數在 t = 0 {\displaystyle t=0} 周圍的開區間存在,第 n {\displaystyle n} 個動差為: E ( X n ) = M X ( n ) ( 0 ) = d n M X ( t ) d t n | t = 0 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}} 。 如果動差母函數在這個區間內是有限的,則它唯一決定了一個機率分布。 一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差母函數有關,包括特徵函數以及機率生成函數。 累積量生成函數是動差母函數的對數。 下面是一些動差生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是動差生成函數 M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} 存在時的威克轉動(Wick rotation)。 More information 動差生成函數 ... 分布 動差生成函數 M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} 特徵函數 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} 退化 δ a {\displaystyle \delta _{a}} e t a {\displaystyle e^{ta}} e i t a {\displaystyle e^{ita}} 伯努利 P ( X = 1 ) = p {\displaystyle P(X=1)=p} 1 − p + p e t {\displaystyle 1-p+pe^{t}} 1 − p + p e i t {\displaystyle 1-p+pe^{it}} 幾何 ( 1 − p ) k − 1 p {\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p} p e t 1 − ( 1 − p ) e t {\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}} ∀ t < − ln ( 1 − p ) {\displaystyle \forall t<-\ln(1-p)} p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t {\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}} 二項式 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} ( 1 − p + p e t ) n {\displaystyle \left(1-p+pe^{t}\right)^{n}} ( 1 − p + p e i t ) n {\displaystyle \left(1-p+pe^{it}\right)^{n}} 負二項 NB ( r , p ) {\displaystyle \operatorname {NB} (r,p)} [註 1] ( p 1 − e t + p e t ) r , t < − log ( 1 − p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},t<-\log(1-p)} [1] ( p 1 − e i t + p e i t ) r {\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}} 卜瓦松 Pois ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )} e λ ( e t − 1 ) {\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}} e λ ( e i t − 1 ) {\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}} 均勻(連續型) U ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {U} (a,b)} e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}} e i t b − e i t a i t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}} 均勻(離散型) DU ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {DU} (a,b)} e a t − e ( b + 1 ) t ( b − a + 1 ) ( 1 − e t ) {\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}} e a i t − e ( b + 1 ) i t ( b − a + 1 ) ( 1 − e i t ) {\displaystyle {\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}} 拉普拉斯 L ( μ , b ) {\displaystyle L(\mu ,b)} e t μ 1 − b 2 t 2 , | t | < 1 b {\displaystyle {\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~\left\vert t\right\vert <{\frac {1}{b}}} e i t μ 1 + b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}} 常態 N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} e t μ + 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} e i t μ − 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} 卡方(Chi-squared) χ k 2 {\displaystyle \chi _{k}^{2}} ( 1 − 2 t ) − k 2 {\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}} ( 1 − 2 i t ) − k 2 {\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}} Noncentral chi-squared χ k 2 ( λ ) {\displaystyle \chi _{k}^{2}(\lambda )} e λ t 1 − 2 t ( 1 − 2 t ) − k 2 {\displaystyle e^{\frac {\lambda t}{1-2t}}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}} e i λ t / ( 1 − 2 i t ) ( 1 − 2 i t ) − k 2 {\displaystyle e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}} 伽瑪(Gamma) Γ ( k , θ ) {\displaystyle \Gamma (k,\theta )} ( 1 − t θ ) − k , ∀ t < 1 θ {\displaystyle (1-t\theta )^{-k},~\forall t<{\tfrac {1}{\theta }}} ( 1 − i t θ ) − k {\displaystyle (1-it\theta )^{-k}} 指數(Exponential) Exp ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )} ( 1 − t λ − 1 ) − 1 , t < λ {\displaystyle \left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda } ( 1 − i t λ − 1 ) − 1 {\displaystyle \left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}} 多元常態 N ( μ , Σ ) {\displaystyle N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )} e t T ( μ + 1 2 Σ t ) {\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}} e t T ( i μ − 1 2 Σ t ) {\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}} 柯西(Cauchy) Cauchy ( μ , θ ) {\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )} 不存在 e i t μ − θ | t | {\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}} Multivariate Cauchy MultiCauchy ( μ , Σ ) {\displaystyle \operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )} [2] 不存在 e i t T μ − t T Σ t {\displaystyle \!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}} Close 主動差 動差 階乘動差母函數 速率函數 [註 1]此處定義為:每次獨立隨機試驗的成功率為 p {\displaystyle p} 時,第 r {\displaystyle r} 次成功前的失敗次數的分布。定義上的差異詳見負二項分布。 [1]Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英語).式(11)。 [2]Kotz et al.[需要完整來源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for Firefox
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.