N維隨機向量
如果服從多變量常態分布,必須滿足下面的三個等價條件:
- 任何線性組合
服從常態分布。
- 存在隨機向量
( 它的每個元素服從獨立標準常態分布),向量
及
矩陣
滿足
.
- 存在
和一個對稱半正定陣
滿足
的特徵函數

如果
是非奇異的,那麼該分布可以由以下的機率密度函數來描述:[1]

注意這裡的
表示共變異數矩陣的行列式。
- 二元的情況
在二維非奇異的情況下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′ 的機率密度函數為:
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})^{2}-2\rho ({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})+({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})^{2}\right]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad843d4d9fdc51ab1e09c7ffd01d2c3a6285f6b1)
其中 ρ 是 X 與 Y 之間的相關係數,
且
。在這種情況下,
