分裂體

在抽象代數中，一個係數體為${\displaystyle \mathbb {K} }$的多項式${\displaystyle P(x)\,}$的分裂體（根體）是${\displaystyle \mathbb {K} }$的「最小」的一個擴張體${\displaystyle \mathbb {L} }$，使得在其中${\displaystyle P\,}$可以被分解為一次因式${\displaystyle x-r_{i}\,}$的乘積，其中的${\displaystyle r_{i}\,}$是${\displaystyle \mathbb {L} }$中元素。一個${\displaystyle \mathbb {K} }$上的多項式並不一定只有一個分裂體，但它所有的分裂體都是同構的：在同構意義上，${\displaystyle \mathbb {K} }$上的多項式的分裂體是唯一的。

術語與定義

稱一個係數體為${\displaystyle \mathbb {K} }$的多項式 ${\displaystyle P(x)\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$的某個擴張體${\displaystyle \mathbb {L} }$中分裂，若且唯若這個多項式可以用這個體中的元素來分解（分裂）成最簡單的一次因式的乘積：

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$

其中的${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$，${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {L} }$。換句話來說，${\displaystyle P\,}$的根都在${\displaystyle \mathbb {L} }$中。

使得${\displaystyle P\,}$在其中分裂的擴張體${\displaystyle \mathbb {L} }$有很多，譬如對於某個使得${\displaystyle P\,}$分裂的的${\displaystyle \mathbb {L} }$，它任意的擴張體${\displaystyle \mathbb {L} '}$也都滿足。然而其中「最小」的體在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」體，是指這樣的一個擴張體${\displaystyle \mathbb {E} }$：

1. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$里，${\displaystyle P\,}$，可以分解為一次因式的乘積；
2. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$的任何真子體（不等於自身）里，${\displaystyle P\,}$都無法如此分解。這樣的擴張體稱為${\displaystyle P\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂體。

例子

如果${\displaystyle \mathbb {K} }$是有理數體${\displaystyle \mathbb {Q} }$，多項式為

${\displaystyle P(x)=x^{3}-2\,}$

那麼其分裂體${\displaystyle \mathbb {L} }$可以是在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中添加三次單位根${\displaystyle \omega \,}$和2的立方根而得到的擴張體：${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})}$。因為這時${\displaystyle P\,}$可以寫作：

${\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}$

同一個多項式在不同的體上的分裂體不一定相同，比如：

• 多項式${\displaystyle x^{2}+1\,}$在實數體 R上的分裂體是複數體 C。
• 多項式${\displaystyle x^{2}+1\,}$在准有限體 GF₇上的分裂體是GF_7².

多項式${\displaystyle x^{2}-1\,}$在准有限體 GF₇上的分裂體是GF₇，因為在其上${\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,}$已經分解完畢。

性質

給定多項式${\displaystyle P(x)\,}$，在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂體${\displaystyle \mathbb {E} }$，假設在${\displaystyle \mathbb {E} }$里${\displaystyle P\,}$，分解為

${\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$

那麼${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})}$。

對於體${\displaystyle \mathbb {K} }$的一個代數閉體擴張體${\displaystyle \mathbb {A} }$和${\displaystyle \mathbb {K} }$上的一個多項式${\displaystyle P\,}$，存在${\displaystyle P\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的唯一的一個分裂體${\displaystyle \mathbb {L} }$，使得${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A} }$。

對於${\displaystyle \mathbb {K} }$的一個可分擴張${\displaystyle \mathbb {K} '}$，${\displaystyle \mathbb {K} '}$的伽羅瓦閉包是一個分裂體，也是${\displaystyle \mathbb {K} }$的包含${\displaystyle \mathbb {K} '}$的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了${\displaystyle \mathbb {K} '}$中任意元素${\displaystyle a\,}$，在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的極小多項式在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂體。

參見

• 代數擴張
• 正規擴張
• 極小多項式
• 可分擴張

參考來源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]^{[失效連結]}
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部連結

• 李華介，簡介Galois理論 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）