不失普遍性

不失普遍性（without loss of generality，縮寫：WLOG、WOLOG）是數學證明中的一種用詞，表示雖然證明中引入了原命題不包含的假設，但是其仍然充分證明了原命題，而非僅僅證明了一個特例。這一用詞常見於證明帶有對稱性的命題。^[1]

例子

舒爾不等式聲稱，對於任意非負實數${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$和正數${\displaystyle t}$都有:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0.}$

對其的證明便可以假設：

不失普遍性，設${\displaystyle x\geq y\geq z}$。

因為${\displaystyle \geq }$是實數集上的全序關係，${\displaystyle x\geq y\geq z}$、${\displaystyle x\geq z\geq y}$、${\displaystyle y\geq x\geq z}$、${\displaystyle y\geq z\geq x}$、${\displaystyle z\geq x\geq y}$、${\displaystyle z\geq y\geq x}$六種情況中中至少有一種成立。舒爾不等式的對稱性使得在${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$之間交換名字仍會得到完全相同的不等式。只需有以上任意一種情況下的證明，則任一其他情況下均可以簡單地通過變換該證明中的字母而得證。因此證明中可以假設${\displaystyle x\geq y\geq z}$，而略去其他情況下的證明。^[1]

一些可以直接地被變換為另一種更簡單形式的命題，其證明中也可用到該詞。如代數基本定理：

任何一個一元復係數多項式方程都至少有一個複數根。

其證明可以假設：

不失普遍性，設該多項式最高次項的係數為${\displaystyle 1}$。^[2]

因為該多項式最高次項原本的係數不為${\displaystyle 0}$，而多項式乘以任意常數均不改變其根的性質，故可以作出此假設。

參考資料

1. John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. （原始內容存檔於2023-12-25）.
2. Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. （原始內容存檔於2023-12-25）.

參見

• Up to
• 數學術語列表（英語：Mathematical jargon）
• 準用

外部連結

• WLOG. PlanetMath.