中國唐朝數學家王孝通在武德九年(626年)前後所著的《緝古算經》中建立了25個三次多項式方程式和提出三次方程式實根的數值解法。[1]
波斯數學家歐瑪爾·海亞姆(1048年-1123年)通過用圓錐截面與圓相交的方法構建了三次方程式的解法。他說明了怎樣用這種幾何方法利用三角法表得到數字式的答案。
中國南宋的數學家秦九韶在他1247年編寫的《數書九章》一書中提出了高次方程式的數值解法秦九韶算法,提出「商常為正,實常為負,從常為正,益常為負」的原則。
在十六世紀早期,義大利數學家費羅找到了能解一種三次方程式的方法,也就是形如
的方程式。事實上,如果我們允許
是複數,所有的三次方程式都能變成這種形式,但在那個時候人們不知道複數。
尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡爾丹諾拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡爾丹諾注意到塔爾塔利亞的方法有時需要他給複數開平方。他甚至在《數學大典》裡包括了這些複數的計算,但他並不真正理解它。拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli)詳細地研究了這個問題,並因此被人們認為是複數的發現者。
當
時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
當
時,方程式有三個實根:當
![{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8297cbb8eea18ca59cf41e368cec5206095b53)
時,方程式有一個三重實根;
當
![{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}\neq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1eaf69f8d9b086a855a49df1ae0148f36349831)
時,方程式的三個實根中有兩個相等;
當
時,方程式有三個不等的實根。
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a711a965ea77b01d1f5e41dc276b3573a8fce4)
![{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46587b0851620fbebda9700bb088c1a03bb6788b)
![{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9613fc132d7d8433ecc9fb0ea9f02107c76ce932)
![{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb11b3a4399d17dcf4d7fb8961824c5c68ae9c7)
紅色字體部分為判別式
。
當
時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
當
時,方程式有三個實根:
當
時,方程式有一個三重實根;
當
時,方程式的三個實根中有兩個相等;
當
時,方程式有三個不等的實根。
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a711a965ea77b01d1f5e41dc276b3573a8fce4)
![{\displaystyle x=-{{b} \over {3a}}+{{{\sqrt[{3}]{2}}\left(b^{2}-3ac\right)} \over {3a\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}}}+{{\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}} \over {3{\sqrt[{3}]{2}}a}},k=0,1,2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90434371f77ff38cdd3892f9f9a111c90b4311e5)
,其中
。
若令
,則
令
為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程式只需找到一個根
,然後把方程式
除以
,就得到一個二次方程式,而我們已會解二次方程式。
在一個代數封閉域,所有三次方程式都有三個根。複數體就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。
解方程式步驟:
- 把原來方程式除以首項係數
,得到:
,其中
,
,
。
- 代換未知項
,以消去二次項。當展開
,會得到
這項,正好抵消掉出現於
的項
。故得:
,其中
和
是域中的數字。
;
。
- 設
滿足
,則
為解
- 這個假設的hint如下:
- 記
。前一方程式化為
。
- 展開:
。
- 重組:
。
- 分解:
。
- 設
和
。我們有
和
因為
。所以
和
是輔助方程式
的根,可代一般二次方程式公式得解。
接下來,
和
是
和
的立方根,適合
,
,最後得出
。
在域
裡,若
和
是立方根,其它的立方根就是
和
,當然還有
和
,其中
,是1的一個複數立方根。
因為乘積
固定,所以可能的
是
,
和
。因此三次方程式的其它根是
和
。
最先嘗試解的三次方程式是實係數(而且是整數)。因為實數體並非代數封閉,方程式的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在
裡,就是
的代數閉包。其中差異出現於
和
的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程式的判別式
,
- 若
,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
- 若
,方程式有三個實根:當
時,方程式有一個三重實根;當
時,方程式的三個實根中有兩個相等;
- 若
,方程式有三個不等的實根:
其中
(注意,由於此公式應對於
的形式,因此這裡的
實際上是前段的
,應用時務必注意取負號即
)。
注意到實係數三次方程式有一實根存在,這是因為非常數多項式在
和
的極限是無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因為多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。
,其中係數皆為實數。
重根判別式:
;
總判別式:
。
。
讓
,得:
;
;
。
讓
,得:
;
。
讓
,得:
;
;
。
設
將其微分,可得
設
,可得
。
三上義夫 《中國算學之特色》 34頁 商務印書館。