費希爾-柯爾莫哥洛夫方程

費希爾-柯爾莫哥洛夫方程是以英國統計學家羅納德·費希爾和俄國數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名的非線性偏微分方程，常見於熱傳導、燃燒理論、生物學、生態學等領域。某些文獻^[1][2]中又稱費希爾-柯爾莫哥洛夫方程為柯爾莫哥洛夫-彼得羅夫斯基-皮斯庫諾夫方程（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation），或KPP方程，費希爾-KPP方程。費希爾-柯爾莫哥洛夫方程是費希爾方程的推廣形式。費希爾-柯爾莫哥洛夫方程的基本形式為^{[注 1]}：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+au+bu^{m}}$

費希爾-KPP方程的數值模擬。

其中，a、b、D、m為任意常數，且m不等於1。^[3][4]

通過重新定義時間的尺度，可以不失一般性地令參數 D 等於1，因此一些文章中直接將形如 ${\displaystyle u_{t}-u_{xx}+\mu u+\nu u^{2}+\delta u^{3}=0}$ 稱為KPP方程^[1][2]。其他形似KPP方程的，例如 ${\displaystyle {\partial u}/{\partial t}={\frac {D}{2}}{\partial ^{2}u}/{\partial x^{2}}+f(u)}$ ^[5] 和 ${\displaystyle u_{t}+(-\Delta )^{\alpha }u=\mu (x)u-u^{2}}$ ^[6] 被稱作「KPP型方程（KPP type equation）」或「費希爾-KPP型方程（Fisher-KPP type equation）」。

解析解

形如 ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+au+bu^{m}}$ 的KPP方程有以下解析解^[3]：

${\displaystyle u(x,t)=[\beta +exp(\lambda t+{\frac {\mu x}{\sqrt {D}}}]^{\frac {2}{1-m}}}$

其中，

${\displaystyle \lambda ={\frac {a(1-m)(m+3)}{2(m+1)}}}$

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {a(1-m)^{2}}{2(m+1)}}}}$

${\displaystyle \beta ={\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}}$

KPP方程的解

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行波圖

利用Maple的TWSolutions軟體包，當m = 2時，可以得到如下的行波圖:

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相關條目

• 費希爾方程
• 反應-擴散系統

注釋

1. Graham所著的《Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple》一書中第八章提到的「Fisher–Kolmogorov Equation」實際上是第十章「Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov Equation」（即下式）在 D = 1、a = 1、b = -1、m = q + 1 時的特殊情況。

參考文獻

1. Ma, W.X.; Fuchssteiner, B. Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. International Journal of Non-Linear Mechanics. 1996-05, 31 (3): 329–338 [2018-02-09]. doi:10.1016/0020-7462(95)00064-X.
2. Unal, ARZU OGUN. On the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation (PDF). Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1. 2013, 62 (1): 1-10 [2018-02-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-02）.
3. Schiesser, Graham W. Griffiths, William E. Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple. Amsterdam: Academic Press. 2011 [2018-02-09]. ISBN 0123846528.
4. Adomian, G. Fisher-Kolmogorov equation. Applied Mathematics Letters. 1995-03, 8 (2): 51–52. doi:10.1016/0893-9659(95)00010-N.
5. al.], Mark Freidlin...[et. Surveys in applied mathematics.. New York: Springer. 1995 [2018-02-09]. ISBN 978-1-4615-1991-1. （原始內容存檔於2019-12-02）.
6. Cabre, Xavier; Coulon, Anne-Charline; Roquejoffre, Jean-Michel. Propagation in Fisher-KPP type equations with fractional diffusion in periodic media. arXiv:1209.4809 [math]. 2012-09-21 [2018-02-09]. doi:10.1016/j.crma.2012.10.007. （原始內容存檔於2019-08-27）.

延伸閱讀

1. 谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》 上海科學技術出版社
2. 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》 科學出版社 2007年
3. 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》 科學出版社
4. 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
5. 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》 科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
6. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
7. Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
8. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
9. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
10. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
11. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
12. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759