Hinge loss

在機器學習中，鉸鏈損失是一個用於訓練分類器的損失函數。鉸鏈損失被用於「最大間格分類」，因此非常適合用於支持向量機 (SVM)。^[1] 對於一個預期輸出 ${\displaystyle t={\pm }1}$，分類結果 ${\displaystyle y}$ 的鉸鏈損失定義為

${\displaystyle \ell (y)=\max(0,1-t\cdot y)}$

t = 1 時變量 y（水平方向）的鉸鏈損失（藍色，垂直方向）與0/1損失（垂直方向；綠色為 y < 0 ，即分類錯誤）。注意鉸接損失在 abs(y) < 1 時也會給出懲罰，對應於支持向量機中間隔的概念。

特別注意：以上式子的${\displaystyle y}$應該使用分類器的「原始輸出」，而非預測標籤。例如，在線性支持向量機當中，${\displaystyle y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} +b}$，其中 ${\displaystyle (\mathbf {w} ,b)}$ 是超平面參數，${\displaystyle \mathbf {x} }$是輸入資料點。

當${\displaystyle t}$和${\displaystyle y}$同號（意即分類器的輸出${\displaystyle y}$是正確的分類），且 ${\displaystyle |y|\geq 1}$時，鉸鏈損失 ${\displaystyle \ell (y)=0}$。但是，當它們異號（意即分類器的輸出${\displaystyle y}$是錯誤的分類）時，${\displaystyle \ell (y)}$ 隨 ${\displaystyle y}$ 線性增長。套用相似的想法，如果 ${\displaystyle |y|<1}$，即使 ${\displaystyle t}$ 和 ${\displaystyle y}$ 同號（意即分類器的分類正確，但是間隔不足），此時仍然會有損失。

擴展

二元支持向量機經常通過一對多（winner-takes-all strategy，WTA SVM）或一對一（max-wins voting，MWV SVM）策略來擴展為多元分類，^[2] 鉸接損失也可以做出類似的擴展，已有數個不同的多元分類鉸接損失的變體被提出。^[3] 例如，Crammer 和 Singer ^[4] 將一個多元線性分類的鉸鏈損失定義為^[5]

${\displaystyle \ell (y)=\max(0,1+\max _{y\neq t}\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$

其中 ${\displaystyle t}$ 為目的標籤， ${\displaystyle \mathbf {w} _{t}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {w} _{y}}$ 該模型的參數。

Weston 和 Watkins 提出了一個類似的定義，但使用求和代替了最大值：^[6][3]

${\displaystyle \ell (y)=\sum _{y\neq t}\max(0,1+\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$

在結構預測中，鉸接損失可以進一步擴展到結構化輸出空間。支持間隔調整的結構化支持向量機 可以使用如下所示的鉸鏈損失變體，其中 w 表示SVM的參數， y 為SVM的預測結果，φ 為聯合特徵函數，Δ 為漢明損失:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\mathbf {y} )&=\max(0,\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle -\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\\&=\max(0,\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\left(\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle \right)-\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\end{aligned}}}$

優化算法

鉸鏈損失是一種凸函數，因此許多機器學習中常用的凸優化器均可用於優化鉸鏈損失。 它不是可微函數，但擁有一個關於線性 SVM 模型參數 w 的次導數

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial w_{i}}}={\begin{cases}-t\cdot x_{i}&{\text{if }}t\cdot y<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其評分函數為 ${\displaystyle y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} }$

三個鉸鏈損失的變體 z = ty：「普通變體」（藍色），平方變體（綠色），以及 Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑變體（紅色）。

然而，由於鉸接損失在 ${\displaystyle ty=1}$處不可導， Zhang 建議在優化時可使用平滑的變體建議，^[7] 如Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑^[8]

${\displaystyle \ell (y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-ty&{\text{if}}~~ty\leq 0,\\{\frac {1}{2}}(1-ty)^{2}&{\text{if}}~~0<ty\leq 1,\\0&{\text{if}}~~1\leq ty\end{cases}}}$

或平方平滑。

${\displaystyle \ell _{\gamma }(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2\gamma }}\max(0,1-ty)^{2}&{\text{if}}~~ty\geq 1-\gamma \\1-{\frac {\gamma }{2}}-ty&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Modified Huber loss ${\displaystyle L}$是${\displaystyle \gamma =2}$時損失函數的特例，此時 ${\displaystyle L(t,y)=4\ell _{2}(y)}$中。

參考文獻

1. Rosasco, L.; De Vito, E. D.; Caponnetto, A.; Piana, M.; Verri, A. Are Loss Functions All the Same? (PDF). Neural Computation. 2004, 16 (5): 1063–1076 [2019-06-04]. PMID 15070510. doi:10.1162/089976604773135104. （原始內容存檔 (PDF)於2020-01-11）.
2. Duan, K. B.; Keerthi, S. S. Which Is the Best Multiclass SVM Method? An Empirical Study (PDF). Multiple Classifier Systems. LNCS 3541. 2005: 278–285 [2019-06-04]. ISBN 978-3-540-26306-7. doi:10.1007/11494683_28. （原始內容存檔 (PDF)於2017-08-08）.
3. Doğan, Ürün; Glasmachers, Tobias; Igel, Christian. A Unified View on Multi-class Support Vector Classification (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2016, 17: 1–32 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-05-05）. 引用錯誤：帶有name屬性「unifiedview」的<ref>標籤用不同內容定義了多次
4. Crammer, Koby; Singer, Yoram. On the algorithmic implementation of multiclass kernel-based vector machines (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2001, 2: 265–292 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-08-29）.
5. Moore, Robert C.; DeNero, John. L₁ and L₂ regularization for multiclass hinge loss models (PDF). Proc. Symp. on Machine Learning in Speech and Language Processing. 2011 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-08-28）.
6. Weston, Jason; Watkins, Chris. Support Vector Machines for Multi-Class Pattern Recognition (PDF). European Symposium on Artificial Neural Networks. 1999 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-05-05）.
7. Zhang, Tong. Solving large scale linear prediction problems using stochastic gradient descent algorithms (PDF). ICML. 2004 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-06-04）.
8. Rennie, Jason D. M.; Srebro, Nathan. Loss Functions for Preference Levels: Regression with Discrete Ordered Labels (PDF). Proc. IJCAI Multidisciplinary Workshop on Advances in Preference Handling. 2005 [2019-06-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-11-06）.