在數學領域,1 + 2 + 4 + 8 + … 是一個無窮級數,它的每一項都是2的冪。作為幾何級數,它以 1 為首項,2 為公比。
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Partial_sums_of_1%2B2%2B3%2B4.jpg/320px-Partial_sums_of_1%2B2%2B3%2B4.jpg)
如果以代數運算的方式來計算這個數列的和,雖然可以得到∞以及-1這兩個值,但這必須在更廣泛的意義中才能成立。
在歷史和數學教育,1 + 2 + 4 + 8 + …是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數,其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。
求和
1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 1, 3, 7, 15, …,由於該數列發散到無窮,所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮,包括切薩羅求和法和阿貝爾求和法。[1]
另一方面,有一種廣義方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和為有限值 -1。相應的冪級數
的收斂半徑為 1/2,因此它在 x = 1 時不收斂。然而,這樣定義的函數 f 在去掉點 x = 1/2 後,具有到複數平面唯一的解析開拓,並且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由於 f(1) = −1,原級數 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E),其和為 −1,並且 -1 是級數的(E)和。(此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在無窮級數上的研究而得)[2]
用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數,例如:
並用 y = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 y = 2x 等價轉換。
事實上(E)和為1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一個有限值,這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面,他具有某些求和法可取的性質,包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1,因此它令下面的操作有效:
在某種意義下,s = ∞ 是方程式 s = 1 + 2s的一個解(例如∞是黎曼球上莫比烏斯轉換z → 1 + 2z 的兩個不動點之一)。如果某種已知的求和方法返回一個常數s,例如不是∞,那麼這是容易確定的。在這種情形下s可能由方程式的兩邊消去,得到 0 = 1 + s,所以 s = −1。[3]
注釋
參考文獻
更多資料
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