雙曲正弦

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示^[1]，在部分較舊的文獻中有時會以${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$表示。^[2]

雙曲正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	(-∞,∞)
特定值
當x=0	0
當x=+∞	+∞
當x=-∞	-∞
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	N/A
根	0
臨界點	N/A
拐點	0

定義

雙曲正弦一般計為${\displaystyle \sinh }$^[3]（有時會簡寫為${\displaystyle \operatorname {sh} }$^[4]），其在複變分析中定義為:^[5]

${\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}$

其中${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}$是複變指數函數（日語：複素指数函数）。

複數域雙曲正弦的色相環複變函數圖形

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半^[6]。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分（英語：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition）^[7]

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。^[8]

性質

一般性質

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。^[9]
• 雙曲正弦是一個奇函數。^[10]
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間${\displaystyle \left[-\infty ,0\right]}$上是凹函數、在區間${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$上是凸函數。^[9]

三角學性質

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：^[8][11]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

其與經典的歐拉公式類似。

當${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$時，有以下恆等式:^[8][12]

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$^[8]

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$

特殊值

雙曲正弦存在一些特殊值^[5]：

• ${\displaystyle \sinh(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}}$
• ${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)}$
• ${\displaystyle \sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle \varphi }$為黃金比例

參見

• 正弦

參考文獻

1. (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
2. Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch, Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte, Fachbuchverlag Leipzig. 1956 （德文）
3. ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. [1 July 2010]. （原始內容存檔於2014-03-26）.
4. Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich. Table of Integrals, Series, and Products 6. Academic Press, Inc. 2000. ISBN 978-0-12-294757-5.
5. Weisstein, Eric W. (編). Hyperbolic Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
6. sinh 双曲正弦. mathworks. [2021-07-11]. （原始內容存檔於2021-07-12）.
7. Richard Hensh. Even and Odd Parts of an Exponential Function (PDF). math.msu.edu. [2021-07-11]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-07-11）.
8. Weisstein, Eric W. (編). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29] （英語）.
9. The hyperbolic functions (PDF). mathcentre.ac.uk. [2021-07-11]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-01-19）.
10. Hyperbolic Functions (PDF). teaching.martahidegkuti.com. [2021-09-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-01-13）.
11. Hyperbolic Functions. www.mathsisfun.com. [2020-08-29]. （原始內容存檔於2022-03-03）.
12. Osborn, G. Mnemonic for hyperbolic formulae. The Mathematical Gazette. July 1902, 2 (34): 189 [2021-09-15]. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. （原始內容存檔於2021-11-01）.