在 Zermelo-Frankel 公理的形式語言中,這個公理讀做:
![{\displaystyle \forall x,\forall y,\exists A,\forall z:z\in A\iff (z=x\lor z=y)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be303edb2f998b0e05bb99de9ea9e1e1c9c5a70d)
換句話說:
- 給定任何集合 x 和任何集合 y,有著一個集合 A 使得,給定任何集合 z,z 是 A 的成員,若且唯若 z 等於 x 或者 z 等於 y。
這個公理實際說的是,給定兩個集合 x 和 y,我們可以找到一個集合 A ,它的成員就是 x 和 y。我們可以使用外延公理證明這個集合 A 是唯一的。我們可以叫這個集合 A 為 x 和 y 的對,並把A指示為 {x,y}。所以這個公理的本質是:
- 任何兩個集合都有一個對。
{x,x} 簡寫為 {x},叫做包含 x 的單元素集合。注意單元素集合是對的特殊情況。
配對公理還允許定義有序對。對於任何集合
和
,有序對的定義如下:
![{\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871f39af82d306eed1c4257305084fc92c4317e3)
注意這個定義滿足條件
![{\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bf2b8b39cdc17d97b74e8cc60dcf8945fd5f67)
有序的n-元組可以遞歸的定義如下:
![{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b9fec377a3307f5d0879291e5dbaf87771c6e3)
配對公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在任何可替代的集合論的公理化中。不過在 Zermelo-Fraenkel 集合論的標準陳述裡,配對公理可以從冪集公理和替代公理模式中得出,所以它有時被省略。
與空集公理一起,配對公理可以一般化為如下模式:
![{\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,\forall x_{n},\exists A,\forall y:y\in A\iff (y=x_{1}\lor \cdots \lor y=x_{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06043625d853909be1f2aeb5dd8fa91c056a925e)
就是說:
- 給定任何有限數目的集合 x1 ,..., xn,有一個集合 A,它的成員就是 x1 ,..., xn。同樣地,通過外延公理可知這個集合 A 是唯一的,其指示為{x1,...,xn}。
當然,我們不能嚴格地指出何謂有限數目的一些集合,除非早就給定了一個有限集合,而上述的x1 ,..., xn都屬於這個集合。所以,這不是一個單一的陳述而是一個模式,對每個自然數 n 有一個單獨的陳述。
- 情況 n = 1 是帶有 x = x1 而 y = x1 的配對公理。
- 情況 n = 2 是帶有 x = x1 而 y = x2 的配對公理。
- 情況 n > 2 可以透過多次使用配對公理和併集公理來證明。
例如,要證明情況 n = 3,使用配對公理三次,來生成對 {x1,x2},單元素集合 {x3},接著的對 {{x1,x2},{x3}}。併集公理接著生成想要的結果 {x1,x2,x3}。我們可以擴展這個模式以包括 n=0,如果我們把這個情況詮釋為空集公理的話。
所以,它可以作為公理模式來替代空集公理和配對公理。但是人們通常單獨使用空集公理和配對公理,並把它作為一個定理模式來證明。注意接受這個模式為公理模式不會替代併集公理,在其他情況下仍需要併集公理。
另一個公理在給定空集公理時可以蘊涵配對公理:
![{\displaystyle \forall x,\forall y,\exists A,\forall z(z\in A\iff (z\in x\lor z=y))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2508ce0ec16b9d5abd8be25f682d85f179668307)
作代入: x={},y=a,我們得到 A 為 {a}。接著再作代入:x={a},y=b,我們得到 A 為 {a,b}。透過這種方式可以構造任意有限集合。而且這個公理可以用來生成所有繼承有限集合,而不需使用併集公理。
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.